Início · Capítulo 7 · Formas multilineares e sequências exatas
Duas estruturas já vistas são funções de vários vetores, lineares em cada um:
o determinante (Teorema 4.6): \(n\)-linear e alternado nas colunas, e único com \(\det(e_1,\ldots,e_n) = 1\);
o produto interno (Definição 6.2): bilinear e simétrico.
Todas essas funções podem ser estudadas de uma vez, como elementos de espaços vetoriais.
Uma forma bilinear em \(V\) é uma função \(\beta:V\times V\to\R\) linear em cada variável. O conjunto delas, \(\operatorname{Bil}(V)\), é um espaço vetorial com as operações ponto a ponto. \(\beta\) é simétrica se \(\beta(u,v) = \beta(v,u)\), e alternada se \(\beta(v,v) = 0\) para todo \(v\).
Seja \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) base de \(V\) e \(M = [\beta]_B = (\beta(v_i,v_j))_{i,j}\). Então \[\beta(u,v) = [u]_B^t\,M\,[v]_B,\] e \(\beta\mapsto[\beta]_B\) é um isomorfismo \(\operatorname{Bil}(V)\to\Mat{n}{n}\); em particular \(\dim\operatorname{Bil}(V) = n^2\). Se \(P = [I]_{BB'}\), então \([\beta]_{B'} = P^t[\beta]_BP\).
Atenção à fórmula de mudança de base: \(P^tMP\), e não \(P^{-1}MP\) como para operadores (Teorema 3.14). A mesma matriz quadrada pode representar um operador ou uma forma bilinear, e as duas leituras mudam de base de modos diferentes (Definição 9.15).
Com \(u = \sum_ix_iv_i\) e \(v = \sum_jy_jv_j\), a bilinearidade dá \(\beta(u,v) = \sum_{i,j}x_iy_j\beta(v_i,v_j) = x^tMy\). A aplicação \(\beta\mapsto M\) é linear, injetora (se \(M = 0\), a fórmula dá \(\beta = 0\)) e sobrejetora (dada \(M\), a fórmula define uma forma bilinear). Para a mudança de base: \([u]_B = P[u]_{B'}\), logo \(\beta(u,v) = [u]_{B'}^tP^tMP[v]_{B'}\).
\(\beta\) é simétrica \(\iff[\beta]_B\) é simétrica; \(\beta\) é alternada \(\iff\beta(u,v) = -\beta(v,u)\) para todos \(u,v\) \(\iff[\beta]_B\) é antissimétrica. E \(\operatorname{Bil}(V) = \Simet(V)\oplus\Alt(V)\), com \[\beta = \underbrace{\tfrac12\big(\beta(u,v)+\beta(v,u)\big)}_{\text{simétrica}} +\underbrace{\tfrac12\big(\beta(u,v)-\beta(v,u)\big)}_{\text{alternada}}.\]
Se \(\beta\) é alternada, expandindo \(0 = \beta(u+v,u+v) = \beta(u,v)+\beta(v,u)\). Reciprocamente, \(\beta(v,v) = -\beta(v,v)\) dá \(\beta(v,v) = 0\). As afirmações sobre matrizes são a Proposição 7.3 lida nas entradas. A decomposição é a de \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\) (Exemplo 2.28), transportada pelo isomorfismo.
O produto escalar em \(\R^n\) é uma forma bilinear, com matriz \(I\) na base canônica. Um produto interno qualquer é uma forma bilinear simétrica, com \(\beta(v,v)>0\) para \(v\neq0\).
\(\omega(x,y) = x_1y_2-x_2y_1 = \det(x\ y)\) em \(\R^2\): alternada, com matriz \(\left(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\right)\).
Dados \(\xi,\zeta\in V^*\), \(\beta(u,v) = \xi(u)\zeta(v)\) é bilinear; sua parte alternada é \(\tfrac12\big(\xi(u)\zeta(v)-\xi(v)\zeta(u)\big) = \tfrac12\,(\xi\wedge\zeta)(u,v)\), com a notação da Definição 7.10.
Uma função \(\omega:V^k\to\R\) é \(k\)-linear se é linear em cada variável, e alternada se \(\omega(u_1,\ldots,u_k) = 0\) sempre que \(u_i = u_j\) para algum \(i\neq j\). O espaço delas é \(\Alt^k(V)\).
Seja \(\omega\in\Alt^k(V)\).
Trocar duas entradas de lugar muda o sinal de \(\omega\).
Se \(u_1,\ldots,u_k\) são LD, então \(\omega(u_1,\ldots,u_k) = 0\).
Se \(k>\dim V\), então \(\Alt^k(V) = \{0\}\).
A forma \(\omega = \det\) em \(\R^2\) como área orientada. O valor é a área do paralelogramo, com sinal dado pelo sentido de giro de \(u\) para \(v\). Trocar a ordem inverte o sentido (e o sinal); vetores LD geram um paralelogramo achatado, de área nula.
(a) É a conta da Proposição 7.4, feita nas duas entradas trocadas com as outras fixas. (b) Se, digamos, \(u_1 = \sum_{i\geq2}a_iu_i\), a linearidade na primeira entrada dá uma soma de termos \(a_i\,\omega(u_i,u_2,\ldots,u_k)\), cada um com uma entrada repetida. (c) Mais de \(n\) vetores são sempre LD (Corolário 2.81).
Dados \(\xi_1,\ldots,\xi_k\in V^*\), o produto exterior deles é a forma \[(\xi_1\wedge\cdots\wedge\xi_k)(u_1,\ldots,u_k) = \det\big(\xi_i(u_j)\big)_{i,j}.\] Para \(k = 2\): \((\xi\wedge\zeta)(u,v) = \xi(u)\zeta(v)-\xi(v)\zeta(u)\).
\(\xi_1\wedge\cdots\wedge\xi_k\in\Alt^k(V)\). Ela é \(k\)-linear e alternada também como função dos \(\xi_i\), e é nula se e somente se \(\xi_1,\ldots,\xi_k\) são LD.
Mudar \(u_j\) muda só a coluna \(j\) da matriz \((\xi_i(u_j))\), e linearmente; logo a forma é \(k\)-linear pelo determinante ser linear em cada coluna. Se \(u_j = u_l\), duas colunas são iguais e o determinante é nulo. O mesmo argumento, com as linhas, vale para os \(\xi_i\). Se os \(\xi_i\) são LD, as linhas da matriz são LD para todos os \(u\), e o determinante é nulo. Se são LI, complete-os a uma base de \(V^*\); ela é a base dual de uma base \((u_1,\ldots,u_n)\) de \(V\) (pelo Teorema 5.23, a base de \(V\) é a imagem por \(\mathrm{ev}^{-1}\) da base dual da base de \(V^*\)). Então \(\xi_i(u_j) = \delta_{ij}\) e \((\xi_1\wedge\cdots\wedge\xi_k)(u_1,\ldots,u_k) = \det I = 1\).
Para \(I = (i_1<\cdots<i_k)\) e uma base \((v_1,\ldots,v_n)\) de \(V\), escrevemos \(v_I^* = v_{i_1}^*\wedge\cdots\wedge v_{i_k}^*\) e \(v_I = (v_{i_1},\ldots,v_{i_k})\).
Seja \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) base de \(V\). Toda \(\omega\in\Alt^k(V)\) se escreve de modo único como \[\omega = \sum_{i_1<\cdots<i_k}\omega(v_{i_1},\ldots,v_{i_k})\ v_{i_1}^*\wedge\cdots\wedge v_{i_k}^*.\] Logo \(\{v_I^*\}_{I\text{ crescente}}\) é base de \(\Alt^k(V)\) e \(\dim\Alt^k(V) = \binom nk\).
As dimensões dos \(\Alt^k(\R^4)\): uma linha do triângulo de Pascal. Cada elemento da base corresponde a uma escolha de \(k\) índices crescentes. Em grau máximo há uma só escolha, e o espaço é uma reta gerada pelo determinante.
Um cálculo: para \(I,J\) crescentes, \(v_I^*(v_J) = \det\big(v_{i_a}^*(v_{j_b})\big)\). Se \(I = J\), a matriz é a identidade. Se \(I\neq J\), algum \(i_a\) não está em \(J\), e a linha \(a\) é nula. Logo \(v_I^*(v_J) = \delta_{IJ}\).
Gera: seja \(\eta = \sum_I\omega(v_I)v_I^*\). Pelo cálculo, \(\eta(v_J) = \omega(v_J)\) para toda \(J\) crescente. Uma \(k\)-upla qualquer de vetores da base ou tem repetição (e as duas formas dão zero), ou se reordena numa crescente trocando entradas (e as duas formas mudam de sinal do mesmo modo). Logo \(\eta\) e \(\omega\) coincidem em todas as \(k\)-uplas de vetores da base, e por \(k\)-linearidade coincidem em tudo.
LI: se \(\sum_Ic_Iv_I^* = 0\), avaliando em \(v_J\) vem \(c_J = 0\).
\(\dim\Alt^n(V) = 1\). Em \(\R^n\), a forma \(e_1^*\wedge\cdots\wedge e_n^*\) é \(\det\), e toda forma \(n\)-linear alternada é um múltiplo dela.
Este corolário é o Teorema 4.5, demonstrado de outra forma: lá, uma forma \(n\)-linear alternada com \(\omega(e_1,\ldots,e_n) = 1\) era única; aqui, o espaço dessas formas tem dimensão \(1\). A demonstração do Teorema 7.12 é a do Teorema 4.5 (“reordene e use a linearidade”), feita para \(k\) qualquer.
\((e_1^*\wedge\cdots\wedge e_n^*)(u_1,\ldots,u_n) = \det\big(e_i^*(u_j)\big) = \det(u_1\ \cdots\ u_n)\), porque \(e_i^*(u_j)\) é a \(i\)-ésima coordenada de \(u_j\).
\(\Alt^2(\R^3)\) e o produto vetorial. \(\dim\Alt^2(\R^3) = 3 = \dim\R^3\). Um isomorfismo explícito: a cada \(u\in\R^3\) associe \[\omega_u(x,y) = \det(u\ x\ y).\] Na base, \(\omega_{e_1} = e_2^*\wedge e_3^*\), \(\omega_{e_2} = e_3^*\wedge e_1^*\), \(\omega_{e_3} = e_1^*\wedge e_2^*\) (confira nos pares \((e_i,e_j)\)). E pela expansão de Laplace na primeira coluna, \[\omega_u(x,y) = \langle u,\ x\times y\rangle,\] onde \(x\times y = (x_2y_3-x_3y_2,\ x_3y_1-x_1y_3,\ x_1y_2-x_2y_1)\) é o produto vetorial. Assim o produto vetorial é uma forma alternada de grau \(2\) disfarçada de vetor, pelo isomorfismo \(u\mapsto\omega_u\) e pelo produto interno. Esse disfarce só é possível porque \(\binom32 = 3\); em \(\R^4\), \(\binom42 = 6\neq4\).
O volume orientado do paralelepípedo de \(u,x,y\) é a área da base (o paralelogramo de \(x,y\)) vezes a altura de \(u\) na direção perpendicular. O produto vetorial \(x\times y\) é o vetor perpendicular à base com comprimento igual à área; a altura vezes a área é o produto interno com ele.
Em movimento: Cross products · Cross products in the light of linear transformations — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
Em \(\R^4\), seja \(\omega = e_1^*\wedge e_2^*+e_3^*\wedge e_4^*\). Ela não é da forma \(\xi\wedge\zeta\). Suponha que fosse. O subespaço \(N(\xi)\cap N(\zeta)\) tem dimensão \(\geq2\) (Teorema 2.85 e Proposição 5.7), e para \(v\) nele, \[\omega(v,y) = \xi(v)\zeta(y)-\xi(y)\zeta(v) = 0\qquad\text{para todo } y.\] Mas a matriz de \(\omega\) na base canônica é \[\begin{pmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix},\] que é invertível; e \(\omega(v,y) = 0\) para todo \(y\) diz \(v^tM = 0\), isto é, \(v = 0\). Contradição.
Verdadeiro ou falso? Se \(\dim V\) é ímpar e \(\omega\) é uma forma bilinear alternada em \(V\), então existe \(v\neq0\) com \(\omega(v,\cdot) = 0\).
Verdadeira. Seja \(M\) a matriz de \(\omega\) numa base (Proposição 7.3); \(M\) é antissimétrica, \(n\times n\) com \(n\) ímpar. Então \[\det M = \det M^t = \det(-M) = (-1)^n\det M = -\det M,\] logo \(\det M = 0\), e existe \(x\neq0\) com \(M^tx = 0\). O vetor \(v\) com \([v] = x\) satisfaz \(\omega(v,u) = x^tM[u] = (M^tx)^t[u] = 0\) para todo \(u\).
Verdadeiro ou falso? Se \(\dim V\) é par e \(\omega\) é uma forma bilinear alternada em \(V\), então existe \(v\neq0\) com \(\omega(v,\cdot) = 0\).
Falsa. Em \(\R^2\), \(\omega(x,y) = \det(x\ y)\) tem matriz \(\left(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\right)\), invertível: \(\omega(v,\cdot) = 0\) só para \(v = 0\). (Em \(\R^4\), a forma \(e_1^*\wedge e_2^*+e_3^*\wedge e_4^*\) do Exemplo 7.15.)
Seja \(T:V\to V\) linear. Para \(\omega\in\Alt^k(V)\), o pullback de \(\omega\) por \(T\) é \[(T^\sharp\omega)(u_1,\ldots,u_k) = \omega\big(T(u_1),\ldots,T(u_k)\big).\]
\(T^\sharp\) é um operador linear em \(\Alt^k(V)\), e \((S\circ T)^\sharp = T^\sharp\circ S^\sharp\).
\(T^\sharp\omega\) é \(k\)-linear (composição com \(T\) em cada entrada) e alternada (entradas iguais continuam iguais depois de \(T\)). Linearidade em \(\omega\): as operações são ponto a ponto. Composição: \(((S\circ T)^\sharp\omega)(u) = \omega(STu_1,\ldots) = (S^\sharp\omega)(Tu_1,\ldots) = (T^\sharp S^\sharp\omega)(u)\).
Seja \(\dim V = n\). Existe um número \(c(T)\) tal que \(T^\sharp\omega = c(T)\,\omega\) para toda \(\omega\in\Alt^n(V)\), e \(c(T) = \det T\). Em consequência, \(\det(S\circ T) = \det S\cdot\det T\).
O determinante como fator de volume. \(T^\sharp\omega = (\det T)\,\omega\) diz que \(T\) multiplica todo volume orientado pelo mesmo número. Daí \(\det(ST) = \det S\det T\): aplicar \(T\) e depois \(S\) multiplica os volumes pelos dois fatores.
No Teorema 4.21, \(\det(AB) = \det A\det B\) foi demonstrado com matrizes; aqui ele é consequência de “operador linear numa reta é multiplicação por um número” e de \((ST)^\sharp = T^\sharp S^\sharp\). E o determinante de um operador é definido sem base nenhuma: \(\det T\) é o número pelo qual \(T\) age em \(\Alt^n(V)\). A independência de base, que antes exigiu \(\det(P^{-1}AP) = \det A\) (Corolário 4.22), vem de graça.
\(\Alt^n(V)\) tem dimensão \(1\), e todo operador linear num espaço de dimensão \(1\) é a multiplicação por um número: se \(\omega_0\neq0\), \(T^\sharp\omega_0 = c\,\omega_0\) para algum \(c\), e então \(T^\sharp(\lambda\omega_0) = c\,\lambda\omega_0\). Para calcular \(c\), tome uma base \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) e \(\omega_B = v_1^*\wedge\cdots\wedge v_n^*\), que vale \(\omega_B(u_1,\ldots,u_n) = \det([u_1]_B\ \cdots\ [u_n]_B)\) (como no Corolário 7.13). Então \[c(T) = c(T)\,\omega_B(v_1,\ldots,v_n) = \omega_B(Tv_1,\ldots,Tv_n) = \det\big([Tv_1]_B\ \cdots\ [Tv_n]_B\big) = \det[T]_B.\] Finalmente, pela Proposição 7.19, \(c(S\circ T)\,\omega = T^\sharp S^\sharp\omega = c(S)c(T)\,\omega\).
Dado \(v\in V\), a contração por \(v\) é \(\iota_v:\Alt^k(V)\to\Alt^{k-1}(V)\), \[(\iota_v\omega)(u_1,\ldots,u_{k-1}) = \omega(v,u_1,\ldots,u_{k-1}),\] com \(\iota_v = 0\) em \(\Alt^0(V) = \R\).
\(\iota_v\) é linear, e \(\iota_v\circ\iota_v = 0\).
Assim a sequência \[0\to\Alt^n(V)\xrightarrow{\iota_v}\Alt^{n-1}(V)\xrightarrow{\iota_v}\cdots \xrightarrow{\iota_v}\Alt^1(V)\xrightarrow{\iota_v}\Alt^0(V)\to0\] tem a propriedade de que a composta de duas setas consecutivas é nula: é um complexo. Em \(\R^3\), identificando os \(\Alt^k\) com \(\R^3\) ou \(\R\) como no Exemplo 7.14, as setas são \(a\mapsto av\), \(w\mapsto w\times v\) e \(w\mapsto\langle v,w\rangle\); e \(\iota_v\circ\iota_v = 0\) diz, por exemplo, \((av)\times v = 0\) e \(\langle v,w\times v\rangle = 0\).
Nesse complexo (Definição 7.23), a imagem de cada seta está contida no núcleo da seguinte. Se \(v\neq0\), são iguais: é a Proposição 7.34.
A linearidade é a de \(\omega\) nas entradas \(2\) a \(k\). E, por \(\omega\) ser alternada, \[(\iota_v\iota_v\omega)(u_1,\ldots,u_{k-2}) = \omega(v,v,u_1,\ldots,u_{k-2}) = 0.\]