\(\det(AB) = \det A\cdot\det B\)
Para todas \(A,B\in\Mat{n}{n}\), \[\det(AB) = \det A\cdot\det B.\]
Por que \(\det(AB) = \det A\det B\). Um determinante é o fator pelo qual a transformação multiplica volumes; compor duas transformações multiplica os dois fatores. O teorema é essa frase (Nota 4.15), demonstrada sem falar em volume.
Demonstração
Fixe \(A\) e considere a função das colunas de \(B\) \[g(B_1,\ldots,B_n) := \det(AB).\] A \(j\)-ésima coluna de \(AB\) é \(A\,B_j\). Portanto:
\(g\) é \(n\)-linear, porque \(B_j\mapsto AB_j\) é linear e \(\det\) é \(n\)-linear;
\(g\) é alternada, porque se \(B_i = B_j\) então \(AB_i = AB_j\), e \(\det\) é alternada.
Pelo Teorema 4.5, \[g(B_1,\ldots,B_n) = \det(B)\cdot g(e_1,\ldots,e_n) = \det B\cdot\det(A\,I) = \det B\cdot\det A.\]
Em movimento: The determinant — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{$\det(AB) = \det A\cdot\det B$}
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\cardrequer{thm-formula-do-determinante}
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\cardveja{nota-unicidade-como-ferramenta, nota-volume}
\begin{cartao}
\emph{Para todas $A,B\in\Mat{n}{n}$,}
\[\det(AB) = \det A\cdot\det B.\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
\fill[Fcinza!18] (0,0)--(1.2,0)--(1.2,1.2)--(0,1.2)--cycle;
\draw[Fcinza,line width=0.8pt] (0,0)--(1.2,0)--(1.2,1.2)--(0,1.2)--cycle;
\node[cxs,anchor=north,align=center] at (0.6,-0.25) {quadrado unitário\\ área $1$};
\end{scope}
\draw[fseta,Fazul] (1.7,0.6)--(3.1,0.6);
\node[cxs,Fazul,anchor=south] at (2.4,0.68) {$B$};
\begin{scope}[shift={(3.6,0)}]
\fill[Fazul!16] (0,0)--(1.7,0.35)--(2.2,1.55)--(0.5,1.2)--cycle;
\draw[Fazul,line width=0.8pt] (0,0)--(1.7,0.35)--(2.2,1.55)--(0.5,1.2)--cycle;
\node[cxs,anchor=north,align=center] at (1.1,-0.25) {área $|\det B|$};
\end{scope}
\draw[fseta,Frosa] (6.3,0.6)--(7.7,0.6);
\node[cxs,Frosa,anchor=south] at (7.0,0.68) {$A$};
\begin{scope}[shift={(8.2,-0.15)}]
\fill[Frosa!12] (0,0)--(2.6,-0.15)--(3.5,1.5)--(0.9,1.65)--cycle;
\draw[Frosa,line width=0.8pt] (0,0)--(2.6,-0.15)--(3.5,1.5)--(0.9,1.65)--cycle;
\node[cxs,anchor=north,align=center] at (1.7,-0.35) {área $|\det A|\cdot|\det B|$};
\end{scope}
\draw[fseta,Fverde] (0.6,-1.15) .. controls (6.0,-2.1) .. (9.9,-1.15);
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (5.4,-1.85) {$AB$: multiplica áreas por $|\det A\det B|$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Por que $\det(AB) = \det A\det B$. Um determinante é o fator pelo
qual a transformação multiplica volumes; compor duas transformações multiplica os dois
fatores. O teorema é essa frase (\vejacard{nota-volume}), demonstrada sem falar em volume.\par}
\begin{demonstracao}
Fixe $A$ e considere a função das colunas de $B$
\[g(B_1,\ldots,B_n) := \det(AB).\]
A $j$-ésima coluna de $AB$ é $A\,B_j$. Portanto:
\begin{itemize}[leftmargin=1.6em,itemsep=0.1em,topsep=0.25em]
\item $g$ é $n$-linear, porque $B_j\mapsto AB_j$ é linear e $\det$ é $n$-linear;
\item $g$ é alternada, porque se $B_i = B_j$ então $AB_i = AB_j$, e $\det$ é alternada.
\end{itemize}
Pelo \vejacard{thm-unico},
\[g(B_1,\ldots,B_n) = \det(B)\cdot g(e_1,\ldots,e_n) = \det B\cdot\det(A\,I) =
\det B\cdot\det A.\]
\end{demonstracao}
\end{cartao}