Formas simétricas e alternadas
\(\beta\) é simétrica \(\iff[\beta]_B\) é simétrica; \(\beta\) é alternada \(\iff\beta(u,v) = -\beta(v,u)\) para todos \(u,v\) \(\iff[\beta]_B\) é antissimétrica. E \(\operatorname{Bil}(V) = \Simet(V)\oplus\Alt(V)\), com \[\beta = \underbrace{\tfrac12\big(\beta(u,v)+\beta(v,u)\big)}_{\text{simétrica}} +\underbrace{\tfrac12\big(\beta(u,v)-\beta(v,u)\big)}_{\text{alternada}}.\]
Demonstração
Se \(\beta\) é alternada, expandindo \(0 = \beta(u+v,u+v) = \beta(u,v)+\beta(v,u)\). Reciprocamente, \(\beta(v,v) = -\beta(v,v)\) dá \(\beta(v,v) = 0\). As afirmações sobre matrizes são a Proposição 7.3 lida nas entradas. A decomposição é a de \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\) (Exemplo 2.28), transportada pelo isomorfismo.
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\begin{cartao}
\emph{$\beta$ é simétrica $\iff[\beta]_B$ é simétrica;
$\beta$ é alternada $\iff\beta(u,v) = -\beta(v,u)$ para todos $u,v$ $\iff[\beta]_B$ é
antissimétrica. E $\operatorname{Bil}(V) = \Simet(V)\oplus\Alt(V)$, com}
\[\beta = \underbrace{\tfrac12\big(\beta(u,v)+\beta(v,u)\big)}_{\text{simétrica}}
+\underbrace{\tfrac12\big(\beta(u,v)-\beta(v,u)\big)}_{\text{alternada}}.\]
\begin{demonstracao}
Se $\beta$ é alternada, expandindo $0 = \beta(u+v,u+v) = \beta(u,v)+\beta(v,u)$. Reciprocamente,
$\beta(v,v) = -\beta(v,v)$ dá $\beta(v,v) = 0$. As afirmações sobre matrizes são a
\vejacard{prop-matbil} lida nas entradas. A decomposição é a de
$\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}$ (\vejacard{ex-diretas-b}), transportada pelo isomorfismo.
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\end{cartao}