Em dimensão \(n\): \(n\) vetores LI, ou \(n\) geradores, formam base
Seja \(\dim V = n\). Então:
quaisquer \(n+1\) vetores de \(V\) são LD;
\(n\) vetores LI de \(V\) formam uma base;
\(n\) vetores que geram \(V\) formam uma base.
O corolário reduz o trabalho pela metade: sabendo a dimensão, basta verificar uma das duas propriedades.
Demonstração
(a) \(V\) é gerado por \(n\) vetores (uma base), então pelo Lema 2.53 nenhum conjunto LI tem mais de \(n\) elementos.
(b) Pelo Teorema 2.79, esses \(n\) vetores se completam a uma base; mas toda base tem \(n\) elementos (Teorema 2.74), logo nada foi acrescentado — eles já eram base.
(c) Pelo Teorema 2.73, deles se extrai uma base; mas toda base tem \(n\) elementos, logo nada foi retirado.
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\cardtitulo{Em dimensão $n$: $n$ vetores LI, ou $n$ geradores, formam base}
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\begin{cartao}
\emph{Seja $\dim V = n$. Então:}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{quaisquer $n+1$ vetores de $V$ são LD;}
\item \emph{$n$ vetores LI de $V$ formam uma base;}
\item \emph{$n$ vetores que geram $V$ formam uma base.}
\end{enumerate}
\noindent O corolário reduz o trabalho pela metade: sabendo a dimensão, basta verificar
\emph{uma} das duas propriedades.
\begin{demonstracao}
(a) $V$ é gerado por $n$ vetores (uma base), então pelo \vejacard{lem-troca} nenhum conjunto LI tem mais
de $n$ elementos.
(b) Pelo \vejacard{thm-compl}, esses $n$ vetores se completam a uma base; mas toda base tem $n$
elementos (\vejacard{thm-invar}), logo nada foi acrescentado --- eles já eram base.
(c) Pelo \vejacard{thm-existencia-de-base}, deles se extrai uma base; mas toda base tem $n$ elementos, logo nada foi
retirado.
\end{demonstracao}
\end{cartao}