Mudança de base de um operador: \([T]_{B'B'} = P^{-1}[T]_{BB}P\)
Seja \(T:V\to V\) linear e sejam \(B\), \(B'\) bases de \(V\). Pondo \(P = [I]_{BB'}\), vale \[[T]_{B'B'} = P^{-1}\,[T]_{BB}\,P.\]
A mudança de base como um desvio. Os quatro cantos são o mesmo \(\R^n\), com dicionários diferentes; a fórmula \(P^{-1}[T]_BP\) só diz que dá no mesmo traduzir, agir e destraduzir. Desenhado assim, ninguém erra a ordem dos fatores nem qual é a inversa.
Demonstração
Escreva \(T = \mathrm{Id}\circ T\circ\mathrm{Id}\) e aplique o Teorema 3.7 duas vezes, escolhendo as bases de modo a atravessar \(B\): \[[T]_{B'B'} = [\,\mathrm{Id}\,]_{B'B}\,[T]_{BB}\,[\,\mathrm{Id}\,]_{BB'} = [I]_{B'B}\,[T]_{BB}\,[I]_{BB'} = P^{-1}[T]_{BB}P.\]
Em movimento: Change of basis — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{thm-conj}
\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{Mudança de base de um operador: $[T]_{B'B'} = P^{-1}[T]_{BB}P$}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-mudanca}
\cardrequerdem{thm-comp, prop-mudanca}
\cardveja{}
\begin{cartao}
\emph{Seja $T:V\to V$ linear e sejam $B$, $B'$ bases de $V$.
Pondo $P = [I]_{BB'}$, vale}
\[[T]_{B'B'} = P^{-1}\,[T]_{BB}\,P.\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[cx] (a) at (0,2.2) {$\R^n_{B'}$};
\node[cx] (b) at (3.6,2.2) {$\R^n_{B}$};
\node[cx] (c) at (3.6,0) {$\R^n_{B}$};
\node[cx] (d) at (0,0) {$\R^n_{B'}$};
\draw[fseta,Fazul] (a)--(b) node[midway,above,cxs] {$P = [I]_{BB'}$};
\draw[fseta,Frosa] (b)--(c) node[midway,right,cxs] {$[T]_{BB}$};
\draw[fseta,Fazul] (c)--(d) node[midway,below,cxs] {$P^{-1} = [I]_{B'B}$};
\draw[fseta,Fverde] (a)--(d) node[midway,left,cxs] {$[T]_{B'B'}$};
\node[cxs,anchor=west,align=left] at (5.3,1.1)
{\emph{o caminho direto} (verde)\\ \emph{é igual ao desvio} (azul--rosa--azul):\\[0.35em]
traduza para $B$, aplique $T$,\\ traduza de volta.};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape A mudança de base como um desvio. Os quatro cantos são o
\emph{mesmo} $\R^n$, com dicionários diferentes; a fórmula $P^{-1}[T]_BP$ só diz que dá no
mesmo traduzir, agir e destraduzir. Desenhado assim, ninguém erra a ordem dos fatores nem
qual é a inversa.\par}
\begin{demonstracao}
Escreva $T = \mathrm{Id}\circ T\circ\mathrm{Id}$ e aplique o \vejacard{thm-comp} duas
vezes, escolhendo as bases de modo a atravessar $B$:
\[[T]_{B'B'} = [\,\mathrm{Id}\,]_{B'B}\,[T]_{BB}\,[\,\mathrm{Id}\,]_{BB'}
= [I]_{B'B}\,[T]_{BB}\,[I]_{BB'} = P^{-1}[T]_{BB}P.\]
\end{demonstracao}
\end{cartao}