O pullback é linear e inverte a composição
\(T^\sharp\) é um operador linear em \(\Alt^k(V)\), e \((S\circ T)^\sharp = T^\sharp\circ S^\sharp\).
Demonstração
\(T^\sharp\omega\) é \(k\)-linear (composição com \(T\) em cada entrada) e alternada (entradas iguais continuam iguais depois de \(T\)). Linearidade em \(\omega\): as operações são ponto a ponto. Composição: \(((S\circ T)^\sharp\omega)(u) = \omega(STu_1,\ldots) = (S^\sharp\omega)(Tu_1,\ldots) = (T^\sharp S^\sharp\omega)(u)\).
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\begin{cartao}
$T^\sharp$ é um operador
linear em $\Alt^k(V)$, e $(S\circ T)^\sharp = T^\sharp\circ S^\sharp$.
\begin{demonstracao}
$T^\sharp\omega$ é $k$-linear (composição com $T$ em cada entrada) e alternada (entradas
iguais continuam iguais depois de $T$). Linearidade em $\omega$: as operações são ponto a
ponto. Composição: $((S\circ T)^\sharp\omega)(u) = \omega(STu_1,\ldots) =
(S^\sharp\omega)(Tu_1,\ldots) = (T^\sharp S^\sharp\omega)(u)$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}