\(T\) age em \(\Alt^n(V)\) multiplicando por \(\det T\)

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\cardid{thm-detop}
\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{$T$ age em $\Alt^n(V)$ multiplicando por $\det T$}
\cardtags{}
\cardautor{}

\cardrequer{def-pull, cor-det, def-detop}
\cardrequerdem{prop-pull}
\cardveja{thm-mult, cor-determinante-da-inversa, nota-volume}

\begin{cartao}

\emph{Seja $\dim V = n$. Existe um número $c(T)$ tal que
$T^\sharp\omega = c(T)\,\omega$ para toda $\omega\in\Alt^n(V)$, e $c(T) = \det T$. Em
consequência, $\det(S\circ T) = \det S\cdot\det T$.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
 \begin{scope}
  \fill[Fazul!15] (0,0) rectangle (1,1);
  \draw[Fazul,line width=0.8pt] (0,0) rectangle (1,1);
  \draw[eixo] (-0.3,0)--(2.2,0); \draw[eixo] (0,-0.3)--(0,2.2);
  \node[cxs,anchor=north] at (0.5,-0.02) {$e_1$};
  \node[cxs,anchor=east] at (-0.02,0.5) {$e_2$};
  \node[cx] at (0.9,-0.8) {área $1$};
 \end{scope}
 \draw[fseta] (2.6,0.9)--(3.8,0.9) node[midway,above,cxs] {$T$};
 \begin{scope}[shift={(4.4,0)}]
  \fill[Fverde!18] (0,0)--(2,0.5)--(2.5,2.0)--(0.5,1.5)--cycle;
  \draw[Fverde,line width=0.8pt] (0,0)--(2,0.5)--(2.5,2.0)--(0.5,1.5)--cycle;
  \draw[eixo] (-0.3,0)--(2.9,0); \draw[eixo] (0,-0.3)--(0,2.3);
  \node[cxs,anchor=north west] at (1.1,0.2) {$Te_1$};
  \node[cxs,anchor=east] at (0.2,0.9) {$Te_2$};
  \node[cx] at (1.3,-0.8) {área orientada $\det T$};
 \end{scope}
 \node[cx,anchor=west,align=left] at (8.2,0.9)
  {$[T] = \begin{pmatrix}2&0.5\\0.5&1.5\end{pmatrix}$\\[0.4em] $\det T = 3-0.25 = 2.75$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

{\footnotesize\itshape O determinante como fator de volume. $T^\sharp\omega = (\det
T)\,\omega$ diz que $T$ multiplica todo volume orientado pelo mesmo número. Daí
$\det(ST) = \det S\det T$: aplicar $T$ e depois $S$ multiplica os volumes pelos dois fatores.\par}

\noindent No \vejacard{thm-mult}, $\det(AB) = \det A\det B$ foi demonstrado com
matrizes; aqui ele é consequência de ``operador linear numa reta é multiplicação por um
número'' e de $(ST)^\sharp = T^\sharp S^\sharp$. E o determinante de um operador é definido
sem base nenhuma: $\det T$ é o número pelo qual $T$ age em $\Alt^n(V)$. A independência de
base, que antes exigiu $\det(P^{-1}AP) = \det A$ (\vejacard{cor-determinante-da-inversa}),
vem de graça.

\begin{demonstracao}

$\Alt^n(V)$ tem dimensão $1$, e todo operador linear num espaço de dimensão $1$ é a
multiplicação por um número: se $\omega_0\neq0$, $T^\sharp\omega_0 = c\,\omega_0$ para algum
$c$, e então $T^\sharp(\lambda\omega_0) = c\,\lambda\omega_0$. Para calcular $c$, tome uma base
$B = (v_1,\ldots,v_n)$ e $\omega_B = v_1^*\wedge\cdots\wedge v_n^*$, que vale
$\omega_B(u_1,\ldots,u_n) = \det([u_1]_B\ \cdots\ [u_n]_B)$ (como no \vejacard{cor-det}).
Então
\[c(T) = c(T)\,\omega_B(v_1,\ldots,v_n) = \omega_B(Tv_1,\ldots,Tv_n) = \det\big([Tv_1]_B\
\cdots\ [Tv_n]_B\big) = \det[T]_B.\]
Finalmente, pela \vejacard{prop-pull},
$c(S\circ T)\,\omega = T^\sharp S^\sharp\omega = c(S)c(T)\,\omega$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}