Dimensão do dual; o núcleo de um funcional não nulo

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\cardid{prop-dimdual}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Dimensão do dual; o núcleo de um funcional não nulo}
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\cardautor{}

\cardrequer{def-dual, def-dim}
\cardrequerdem{prop-matriz-de-transformacao-e-isomorfismo, thm-nucimg}
\cardveja{cor-hiper}

\begin{cartao}

\emph{Se $\dim V = n$, então $\dim V^* = n$. Se
$\varphi\in V^*$ é não nulo, então $\varphi$ é sobrejetor e $\dim N(\varphi) = n-1$.}

\noindent Um subespaço de dimensão $n-1$ chama-se \textbf{hiperplano}. A proposição diz: o
núcleo de um funcional não nulo é um hiperplano. (A recíproca --- todo hiperplano é o
núcleo de um funcional, único a menos de múltiplo --- é o \vejacard{cor-hiper}.)

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,every node/.style={scale=0.95}]
 \begin{scope}
  \clip (-2.2,-1.6) rectangle (3.4,2.6);
  \foreach \cc in {-2,-1,0,1,2,3,4,5}{
    \draw[Fazul!55,line width=0.7pt] ({\cc+3},-3)--({\cc-3},3);}
  \draw[Fazul,line width=1.4pt] (3,-3)--(-3,3);
 \end{scope}
 \draw[eixo] (-2.2,0)--(3.6,0);
 \draw[eixo] (0,-1.6)--(0,2.8);
 \node[cxs,Fazul,anchor=north east,fill=white,inner sep=1pt] at (-1.1,1.2) {$N(\varphi)$: $\varphi=0$};
 \node[cxs,Fazul,anchor=west,fill=white,inner sep=1pt] at (2.15,1.0) {$\varphi=3$};
 \draw[vet,Frosa] (0,0)--(2,1);
 \node[cxs,Frosa,anchor=south east] at (1.1,0.6) {$v$};
 \node[cx,anchor=west,align=left] at (4.4,0.6)
  {$\varphi(x,y) = x+y$\\[0.3em] $v = (2,1)$, \ $\varphi(v) = 3$:\\ \emph{$v$ atravessa três faixas}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

{\footnotesize\itshape Um funcional não nulo em $\R^2$, desenhado pelas suas retas de
nível $\varphi = c$. A reta grossa é o núcleo; as outras são paralelas a ele. O valor
$\varphi(v)$ é o número de faixas que a flecha $v$ atravessa. Um vetor é uma flecha; um
funcional é uma pilha de retas paralelas.\par}

\noindent Multiplicar $\varphi$ por $2$ deixa as retas de nível duas vezes mais juntas. Já a soma
de dois funcionais se faz nos coeficientes, não nas pilhas de retas.

\begin{demonstracao}

$\dim\Lin(V,\R) = n\cdot1$ (\vejacard{prop-matriz-de-transformacao-e-isomorfismo}). Se $\varphi\neq0$, sua imagem é um subespaço não nulo
de $\R$, logo é $\R$; pelo \vejacard{thm-nucimg}, $\dim N(\varphi) = n-1$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}