Teorema do completamento

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\cardtitulo{Teorema do completamento}
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\cardautor{}

\cardrequer{def-dim}
\cardrequerdem{lem-troca}
\cardveja{nota-regua-li-e-geradores}

\begin{cartao}

\emph{Seja $\dim V = n$ e sejam
$v_1,\ldots,v_k\in V$ linearmente independentes. Então existem $v_{k+1},\ldots,v_n\in V$
tais que $(v_1,\ldots,v_n)$ é base de $V$.}

\begin{demonstracao}

Se $[v_1,\ldots,v_k] = V$, então $(v_1,\ldots,v_k)$ é base, e pelo \vejacard{thm-invar} temos $k=n$:
nada há a acrescentar.

Caso contrário, existe $v_{k+1}\in V$ com $v_{k+1}\notin[v_1,\ldots,v_k]$. Afirmamos que
$v_1,\ldots,v_{k+1}$ são LI. De fato, suponha
\[a_1v_1+\cdots+a_kv_k+a_{k+1}v_{k+1} = 0.\]
Se $a_{k+1}\neq0$, poderíamos isolar
$v_{k+1} = -a_{k+1}^{-1}(a_1v_1+\cdots+a_kv_k)\in[v_1,\ldots,v_k]$, contra a escolha de
$v_{k+1}$. Logo $a_{k+1} = 0$, e a igualdade vira $a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0$, cujos
coeficientes são nulos porque $v_1,\ldots,v_k$ são LI.

Repetimos o argumento. O processo termina: pelo \vejacard{lem-troca}, um conjunto LI em $V$ nunca tem
mais do que $n$ elementos, já que $V$ é gerado por $n$ vetores. Quando ele para, é porque o
conjunto obtido gera $V$; sendo também LI, é base --- e pelo \vejacard{thm-invar} ela tem exatamente
$n$ elementos.

\end{demonstracao}

\end{cartao}