Determinante de um operador
Seja \(V\) de dimensão finita e \(T:V\to V\) linear. O determinante de \(T\) é \[\det T := \det [T]_{BB},\] para qualquer base \(B\) de \(V\). Pelo Corolário 4.22 e pelo Teorema 3.14 (\([T]_{B'B'} = P^{-1}[T]_{BB}P\)), esse número não depende da base escolhida.
O determinante é constante na classe de semelhança (Definição 3.15): todas as matrizes de um mesmo operador, em todas as bases, têm o mesmo determinante. É isso que autoriza escrever \(\det T\) sem mencionar base — e é o primeiro invariante de um operador que encontramos.
Em movimento: The determinant — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\cardtitulo{Determinante de um operador}
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\cardrequer{cor-determinante-da-inversa, thm-conj}
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\begin{cartao}
Seja $V$ de dimensão finita e $T:V\to V$ linear. O
\textbf{determinante de $T$} é
\[\det T := \det [T]_{BB},\]
para qualquer base $B$ de $V$. Pelo \vejacard{cor-determinante-da-inversa} e pelo \vejacard{thm-conj}
($[T]_{B'B'} = P^{-1}[T]_{BB}P$), esse número não depende da base escolhida.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.95}]
\draw[Fcinza,line width=0.8pt,rounded corners=10pt] (-0.4,-1.5) rectangle (5.6,1.6);
\node[cxs,Fcinza,anchor=north west] at (-0.3,1.55) {todas as matrizes de $T$};
\node[cxs] at (1.0,0.75) {$[T]_{BB}$};
\node[cxs] at (3.0,1.0) {$[T]_{B'B'}$};
\node[cxs] at (4.6,0.45) {$[T]_{B''B''}$};
\node[cxs] at (1.2,-0.55) {$[T]_{CC}$};
\node[cxs] at (3.5,-0.85) {$\cdots$};
\draw[fseta,Fverde] (5.9,0.05)--(7.3,0.05);
\node[cxs,Fverde,anchor=south] at (6.6,0.12) {$\det$};
\node[cx,Fverde,anchor=west] at (7.5,0.05) {um único número};
\node[cxs,anchor=west,align=left,Fcinza] at (7.5,-0.65)
{(o mesmo também vale\\ para o traço)};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O determinante é constante na classe de semelhança (\vejacard{def-semelh}): todas
as matrizes de um mesmo operador, em todas as bases, têm o mesmo determinante. É isso que
autoriza escrever $\det T$ sem mencionar base --- e é o primeiro \emph{invariante} de um
operador que encontramos.\par}
\end{cartao}