Produto interno, norma e ortogonalidade
Um produto interno num espaço vetorial real \(V\) é uma função \(\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\R\) que é
bilinear: linear em cada variável, com a outra fixa;
simétrica: \(\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle\);
positiva definida: \(\langle v,v\rangle>0\) para todo \(v\neq0\).
A norma de \(v\) é \(\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}\). Dizemos que \(u\) e \(v\) são ortogonais, \(u\perp v\), se \(\langle u,v\rangle = 0\).
Em movimento: Dot products and duality — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\begin{cartao}
Um \textbf{produto interno} num espaço vetorial real $V$ é uma
função $\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\R$ que é
\begin{enumerate}[label=(\roman*),leftmargin=2.2em,itemsep=0.15em,topsep=0.3em]
\item \emph{bilinear}: linear em cada variável, com a outra fixa;
\item \emph{simétrica}: $\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle$;
\item \emph{positiva definida}: $\langle v,v\rangle>0$ para todo $v\neq0$.
\end{enumerate}
A \textbf{norma} de $v$ é $\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}$. Dizemos que $u$ e $v$ são
\textbf{ortogonais}, $u\perp v$, se $\langle u,v\rangle = 0$.
\end{cartao}