Matriz de uma forma bilinear

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\cardid{prop-matbil}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Matriz de uma forma bilinear}
\cardtags{}
\cardautor{}

\cardrequer{def-bil, def-iso, def-mudanca}
\cardrequerdem{prop-mudanca}
\cardveja{thm-conj, def-congr}

\begin{cartao}

\emph{Seja $B = (v_1,\ldots,v_n)$ base de $V$ e
$M = [\beta]_B = (\beta(v_i,v_j))_{i,j}$. Então}
\[\beta(u,v) = [u]_B^t\,M\,[v]_B,\]
\emph{e $\beta\mapsto[\beta]_B$ é um isomorfismo $\operatorname{Bil}(V)\to\Mat{n}{n}$; em
particular $\dim\operatorname{Bil}(V) = n^2$. Se $P = [I]_{BB'}$, então $[\beta]_{B'} = P^t[\beta]_BP$.}

\noindent Atenção à fórmula de mudança de base: $P^tMP$, e não $P^{-1}MP$ como para
operadores (\vejacard{thm-conj}). A mesma matriz quadrada pode representar um operador ou uma
forma bilinear, e as duas leituras mudam de base de modos diferentes
(\vejacard{def-congr}).

\begin{demonstracao}

Com $u = \sum_ix_iv_i$ e $v = \sum_jy_jv_j$, a bilinearidade dá
$\beta(u,v) = \sum_{i,j}x_iy_j\beta(v_i,v_j) = x^tMy$. A aplicação $\beta\mapsto M$ é
linear, injetora (se $M = 0$, a fórmula dá $\beta = 0$) e sobrejetora (dada $M$, a fórmula
define uma forma bilinear). Para a mudança de base: $[u]_B = P[u]_{B'}$, logo
$\beta(u,v) = [u]_{B'}^tP^tMP[v]_{B'}$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}