O produto exterior é alternado e detecta dependência linear

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\cardid{prop-wedge}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{O produto exterior é alternado e detecta dependência linear}
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\cardrequer{def-wedge}
\cardrequerdem{cor-linhas, thm-ev, thm-compl}
\cardveja{}

\begin{cartao}

\emph{$\xi_1\wedge\cdots\wedge\xi_k\in\Alt^k(V)$. Ela é
$k$-linear e alternada também como função dos $\xi_i$, e é nula se e somente se
$\xi_1,\ldots,\xi_k$ são LD.}

\begin{demonstracao}

Mudar $u_j$ muda só a coluna $j$ da matriz $(\xi_i(u_j))$, e linearmente; logo a forma é
$k$-linear pelo determinante ser linear em cada coluna. Se $u_j = u_l$, duas colunas são
iguais e o determinante é nulo. O mesmo argumento, com as linhas, vale para os $\xi_i$. Se os
$\xi_i$ são LD, as linhas da matriz são LD para todos os $u$, e o determinante é nulo. Se são
LI, complete-os a uma base de $V^*$; ela é a base dual de uma base $(u_1,\ldots,u_n)$ de $V$
(pelo \vejacard{thm-ev}, a base de $V$ é a imagem por $\mathrm{ev}^{-1}$ da base dual da
base de $V^*$). Então $\xi_i(u_j) = \delta_{ij}$ e
$(\xi_1\wedge\cdots\wedge\xi_k)(u_1,\ldots,u_k) = \det I = 1$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}