O complexo da contração em \(\R^3\) é exato
A contração por \(v\) forma um complexo (Proposição 7.22). Em \(\R^3\), com as identificações do Exemplo 7.14, ele é \[0\to\R\xrightarrow{a\,\mapsto\,a v}\R^3\xrightarrow{w\,\mapsto\,w\times v}\R^3 \xrightarrow{w\,\mapsto\,\langle v,w\rangle}\R\to0.\]
Se \(v\neq0\), esse complexo é exato. Isto é: \(w\times v = 0\iff w\in[v]\); e \(\langle v,w\rangle = 0\iff w = u\times v\) para algum \(u\).
A característica de Euler (Teorema 7.32) confere: \(1-3+3-1 = 0\). É o caso \(n = 3\) de \(\sum_k(-1)^k\binom nk = 0\).
O complexo da contração em \(\R^3\). O núcleo de \(w\mapsto w\times v\) é a reta \([v]\), imagem da primeira seta; a imagem dela é o plano \(v^\perp\), núcleo da última. A exatidão são dois fatos conhecidos de geometria.
Demonstração
Complexo: \((av)\times v = 0\) e \(\langle v,w\times v\rangle = \det(v\ w\ v) = 0\). Exatidão nas pontas: \(a\mapsto av\) é injetora e \(w\mapsto\langle v,w\rangle\) é sobrejetora, porque \(v\neq0\). No meio: se \(w\notin[v]\), então \(w\times v\neq0\), porque \(\|w\times v\|\) é a área do paralelogramo de \(w\) e \(v\), não nula quando eles são LI. Logo \(N(\cdot\times v) = [v]\), que é a imagem da primeira seta. Pelo Teorema 2.92, a imagem de \(w\mapsto w\times v\) tem dimensão \(2\); ela está contida em \(v^\perp\) (por ser um complexo), que tem dimensão \(2\) e é o núcleo da última seta. Logo são iguais.
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{prop-contrexata}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{O complexo da contração em $\R^3$ é exato}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{prop-contr, ex-vetorial, def-exata}
\cardrequerdem{thm-nucimg, thm-perp}
\cardveja{thm-caracteristica-de-euler}
\begin{cartao}
A contração por $v$ forma um complexo (\vejacard{prop-contr}). Em $\R^3$, com as
identificações do \vejacard{ex-vetorial}, ele é
\[0\to\R\xrightarrow{a\,\mapsto\,a v}\R^3\xrightarrow{w\,\mapsto\,w\times v}\R^3
\xrightarrow{w\,\mapsto\,\langle v,w\rangle}\R\to0.\]
\emph{Se $v\neq0$,
esse complexo é exato. Isto é: $w\times v = 0\iff w\in[v]$; e $\langle v,w\rangle = 0\iff
w = u\times v$ para algum $u$.}
\noindent A característica de Euler (\vejacard{thm-caracteristica-de-euler}) confere: $1-3+3-1 = 0$. É o caso $n = 3$ de
$\sum_k(-1)^k\binom nk = 0$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1},
x={(-0.5cm,-0.4cm)},y={(1cm,0cm)},z={(0cm,1cm)}]
\fill[Flaranja!12] (-1.3,-1.5,0)--(1.5,-1.5,0)--(1.5,1.9,0)--(-1.3,1.9,0)--cycle;
\draw[Flaranja!60,line width=0.5pt] (-1.3,-1.5,0)--(1.5,-1.5,0)--(1.5,1.9,0)--(-1.3,1.9,0)--cycle;
\draw[Fazul,line width=1.5pt] (0,0,-1.2)--(0,0,2.0);
\draw[vet,Fazul] (0,0,0)--(0,0,1.3);
\node[cxs,Fazul,anchor=east] at (0,0,1.3) {$v$};
\node[cxs,Fazul,anchor=south] at (0,0,2.0) {$[v] = N(\cdot\times v)$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=north west] at (1.5,1.9,0) {$v^\perp = \Ima(\cdot\times v) = N\langle v,\cdot\rangle$};
\draw[vet,black] (0,0,0)--(0.9,0.2,0.9);
\node[cxs,anchor=south east] at (0.9,0.2,0.9) {$w$};
\draw[vet,Fverde] (0,0,0)--(0.26,-1.17,0);
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (0.26,-1.17,0) {$w\times v$};
\fill[black] (0,0,0) circle (1.3pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O complexo da contração em $\R^3$. O núcleo de $w\mapsto w\times v$ é
a reta $[v]$, imagem da primeira seta; a imagem dela é o plano $v^\perp$, núcleo da última. A
exatidão são dois fatos conhecidos de geometria.\par}
\begin{demonstracao}
\emph{Complexo:} $(av)\times v = 0$ e $\langle v,w\times v\rangle = \det(v\ w\ v) = 0$.
\emph{Exatidão nas pontas:} $a\mapsto av$ é injetora e $w\mapsto\langle v,w\rangle$ é
sobrejetora, porque $v\neq0$. \emph{No meio:} se $w\notin[v]$, então $w\times v\neq0$, porque
$\|w\times v\|$ é a área do paralelogramo de $w$ e $v$, não nula quando eles são LI. Logo
$N(\cdot\times v) = [v]$, que é a imagem da primeira seta. Pelo \vejacard{thm-nucimg},
a imagem de $w\mapsto w\times v$ tem dimensão $2$; ela está contida em $v^\perp$ (por ser um
complexo), que tem dimensão $2$ e é o núcleo da última seta. Logo são iguais.
\end{demonstracao}
\end{cartao}