\(\iota_v\circ\iota_v = 0\): a contração forma um complexo
\(\iota_v\) é linear, e \(\iota_v\circ\iota_v = 0\).
Assim a sequência \[0\to\Alt^n(V)\xrightarrow{\iota_v}\Alt^{n-1}(V)\xrightarrow{\iota_v}\cdots \xrightarrow{\iota_v}\Alt^1(V)\xrightarrow{\iota_v}\Alt^0(V)\to0\] tem a propriedade de que a composta de duas setas consecutivas é nula: é um complexo. Em \(\R^3\), identificando os \(\Alt^k\) com \(\R^3\) ou \(\R\) como no Exemplo 7.14, as setas são \(a\mapsto av\), \(w\mapsto w\times v\) e \(w\mapsto\langle v,w\rangle\); e \(\iota_v\circ\iota_v = 0\) diz, por exemplo, \((av)\times v = 0\) e \(\langle v,w\times v\rangle = 0\).
Nesse complexo (Definição 7.23), a imagem de cada seta está contida no núcleo da seguinte. Se \(v\neq0\), são iguais: é a Proposição 7.34.
Demonstração
A linearidade é a de \(\omega\) nas entradas \(2\) a \(k\). E, por \(\omega\) ser alternada, \[(\iota_v\iota_v\omega)(u_1,\ldots,u_{k-2}) = \omega(v,v,u_1,\ldots,u_{k-2}) = 0.\]
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\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{$\iota_v\circ\iota_v = 0$: a contração forma um complexo}
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\cardautor{}
\cardrequer{def-contr}
\cardrequerdem{}
\cardveja{ex-vetorial, def-exata, prop-contrexata}
\begin{cartao}
\emph{$\iota_v$ é
linear, e $\iota_v\circ\iota_v = 0$.}
\noindent Assim a sequência
\[0\to\Alt^n(V)\xrightarrow{\iota_v}\Alt^{n-1}(V)\xrightarrow{\iota_v}\cdots
\xrightarrow{\iota_v}\Alt^1(V)\xrightarrow{\iota_v}\Alt^0(V)\to0\]
tem a propriedade de que a composta de duas setas consecutivas é nula: é um \emph{complexo}.
Em $\R^3$, identificando os $\Alt^k$ com $\R^3$ ou $\R$ como no \vejacard{ex-vetorial}, as setas são
$a\mapsto av$, $w\mapsto w\times v$ e $w\mapsto\langle v,w\rangle$; e
$\iota_v\circ\iota_v = 0$ diz, por exemplo, $(av)\times v = 0$ e $\langle v,w\times v\rangle = 0$.
\noindent Nesse complexo (\vejacard{def-exata}), a imagem de cada seta está contida no núcleo da
seguinte. Se $v\neq0$, são iguais: é a \vejacard{prop-contrexata}.
\begin{demonstracao}
A linearidade é a de $\omega$ nas entradas $2$ a $k$. E, por $\omega$ ser alternada,
\[(\iota_v\iota_v\omega)(u_1,\ldots,u_{k-2}) = \omega(v,v,u_1,\ldots,u_{k-2}) = 0.\]
\end{demonstracao}
\end{cartao}