Definição 5.8

Base dual

RequerDefinição 5.2Funcional linear e espaço dual Definição 2.64Base

Seja \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) base de \(V\). Para cada \(i\), seja \(v_i^*\in V^*\) o único funcional com \[v_i^*(v_j) = \delta_{ij} = \begin{cases}1,& i=j,\\ 0,& i\neq j.\end{cases}\] (Existe e é único porque um funcional, como toda transformação linear, pode ser prescrito livremente numa base.) A lista \(B^* = (v_1^*,\ldots,v_n^*)\) é a base dual de \(B\).

Usado emNota 5.10\(v_1^*\) depende de toda a base, e não só de \(v_1\)Proposição 5.11Cálculo da base dual em \(\R^n\)Proposição 5.13Polinômios de Lagrange: a base dual das avaliações Teorema 7.12Base e dimensão de \(\Alt^k(V)\)Teorema 5.9A base dual dá as coordenadas Teorema 5.23\(V\) e \(V^{**}\) são isomorfos sem escolha Teorema 5.17A matriz da transposta é a transposta da matriz Teorema 6.34Teorema de Riesz: \(V\iso V^*\) pelo produto interno

Usado em demonstrações deLema 5.22Os funcionais separam pontos

Veja tambémProposição 1.53Transformação linear com valores dados em \(e_1,\ldots,e_n\)

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\begin{cartao}

Seja $B = (v_1,\ldots,v_n)$ base de $V$. Para cada $i$,
seja $v_i^*\in V^*$ o único funcional com
\[v_i^*(v_j) = \delta_{ij} = \begin{cases}1,& i=j,\\ 0,& i\neq j.\end{cases}\]
(Existe e é único porque um funcional, como toda transformação linear, pode ser prescrito
livremente numa base.) A lista $B^* = (v_1^*,\ldots,v_n^*)$ é a \textbf{base dual} de $B$.

\end{cartao}

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