\(\dim\Alt^n(V) = 1\): toda forma de grau máximo é múltiplo do determinante
\(\dim\Alt^n(V) = 1\). Em \(\R^n\), a forma \(e_1^*\wedge\cdots\wedge e_n^*\) é \(\det\), e toda forma \(n\)-linear alternada é um múltiplo dela.
Este corolário é o Teorema 4.5, demonstrado de outra forma: lá, uma forma \(n\)-linear alternada com \(\omega(e_1,\ldots,e_n) = 1\) era única; aqui, o espaço dessas formas tem dimensão \(1\). A demonstração do Teorema 7.12 é a do Teorema 4.5 (“reordene e use a linearidade”), feita para \(k\) qualquer.
Demonstração
\((e_1^*\wedge\cdots\wedge e_n^*)(u_1,\ldots,u_n) = \det\big(e_i^*(u_j)\big) = \det(u_1\ \cdots\ u_n)\), porque \(e_i^*(u_j)\) é a \(i\)-ésima coordenada de \(u_j\).
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\cardtitulo{$\dim\Alt^n(V) = 1$: toda forma de grau máximo é múltiplo do determinante}
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\begin{cartao}
$\dim\Alt^n(V) = 1$. Em $\R^n$, a forma
$e_1^*\wedge\cdots\wedge e_n^*$ é $\det$, e toda forma $n$-linear alternada é um múltiplo
dela.
\noindent Este corolário é o \vejacard{thm-unico}, demonstrado de outra forma: lá, uma
forma $n$-linear alternada com $\omega(e_1,\ldots,e_n) = 1$ era única; aqui, o espaço dessas
formas tem dimensão $1$. A demonstração do \vejacard{thm-base} \emph{é} a
do \vejacard{thm-unico} (``reordene e use a linearidade''), feita para $k$ qualquer.
\begin{demonstracao}
$(e_1^*\wedge\cdots\wedge e_n^*)(u_1,\ldots,u_n) = \det\big(e_i^*(u_j)\big) = \det(u_1\ \cdots\
u_n)$, porque $e_i^*(u_j)$ é a $i$-ésima coordenada de $u_j$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}