\(V\) e \(V^{**}\) são isomorfos sem escolha
\(\mathrm{ev}\) é um isomorfismo, e sua definição não usa escolha nenhuma. Além disso, para toda base \(B\) de \(V\), a base dual de \(B^*\) é \(\mathrm{ev}(B)\).
Os isomorfismos \(V\to V^*\) vêm em família, um para cada base, e bases diferentes dão isomorfismos diferentes. O isomorfismo \(V\to V^{**}\) é um só, e é definido sem mencionar base. É isso que a palavra canônico quer dizer.
Este é o sentido correto da palavra “canônico”. Na Nota 2.68 (“só \(\R^n\) tem base canônica”), canônico queria dizer que a escolha já vinha feita; aqui, que não há escolha a fazer. Identificamos \(V\) com \(V^{**}\) via \(\mathrm{ev}\) e escrevemos \(v(\varphi) = \varphi(v)\): os elementos de \(V^{**}\) são os vetores de \(V\), agindo por avaliação.
Demonstração
\(\mathrm{ev}(v)\) é linear em \(\varphi\) porque as operações de \(V^*\) são ponto a ponto: \(\mathrm{ev}(v)(\varphi+\lambda\psi) = \varphi(v)+\lambda\psi(v)\). E \(\mathrm{ev}\) é linear em \(v\) porque cada \(\varphi\) é linear. Se \(\mathrm{ev}(v) = 0\), então \(\varphi(v) = 0\) para todo \(\varphi\), e \(v = 0\) pelo Lema 5.22. Logo \(\mathrm{ev}\) é injetora; como \(\dim V^{**} = \dim V^* = \dim V\), é isomorfismo (Corolário 2.93).
Para a última afirmação: \(\mathrm{ev}(v_i)(v_j^*) = v_j^*(v_i) = \delta_{ij}\), que é a relação que define a base dual de \(B^*\).
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{thm-ev}
\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{$V$ e $V^{**}$ são isomorfos sem escolha}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-duplo-dual, def-iso, def-basedual}
\cardrequerdem{lem-separa, prop-dimdual, cor-equiv}
\cardveja{nota-isomorfismo-com-o-dual-depende-de-base, nota-base-e-escolha-de-isomorfismo}
\begin{cartao}
\emph{$\mathrm{ev}$ é um isomorfismo, e sua definição não usa
escolha nenhuma. Além disso, para toda base $B$ de $V$, a base dual de $B^*$ é
$\mathrm{ev}(B)$.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[cx] (V) at (0,0) {$V$};
\node[cx] (Vs) at (4.2,1.3) {$V^*$};
\node[cx] (Vss) at (8.4,0) {$V^{**}$};
\draw[fseta,Flaranja] (V) .. controls (1.8,1.5) .. (Vs);
\draw[fseta,Frosa] (V) .. controls (2.4,0.6) .. (Vs);
\node[cxs,Flaranja,anchor=south] at (1.6,1.35) {$\Phi_B$};
\node[cxs,Frosa,anchor=north west] at (2.5,0.55) {$\Phi_{B'}$};
\draw[fseta,Fverde,line width=1.3pt] (V)--(Vss);
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (4.2,-0.12) {$\mathrm{ev}$: \emph{nenhuma escolha}};
\node[cxs,Fcinza,align=center] at (1.6,2.35) {\emph{um isomorfismo}\\ \emph{para cada base}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Os isomorfismos $V\to V^*$ vêm em família, um para cada base, e
bases diferentes dão isomorfismos diferentes. O isomorfismo $V\to V^{**}$ é um só, e é
definido sem mencionar base. É isso que a palavra \emph{canônico} quer dizer.\par}
\noindent Este é o sentido correto da palavra ``canônico''. Na
\vejacard{nota-base-e-escolha-de-isomorfismo} (``só $\R^n$ tem base canônica''), canônico
queria dizer que a escolha já vinha feita; aqui, que não há escolha a fazer. Identificamos $V$
com $V^{**}$ via $\mathrm{ev}$ e escrevemos $v(\varphi) = \varphi(v)$: os elementos de $V^{**}$
são os vetores de $V$, agindo por avaliação.
\begin{demonstracao}
$\mathrm{ev}(v)$ é linear em $\varphi$ porque as operações de $V^*$ são ponto a ponto:
$\mathrm{ev}(v)(\varphi+\lambda\psi) = \varphi(v)+\lambda\psi(v)$. E $\mathrm{ev}$ é linear
em $v$ porque cada $\varphi$ é linear. Se $\mathrm{ev}(v) = 0$, então $\varphi(v) = 0$ para
todo $\varphi$, e $v = 0$ pelo \vejacard{lem-separa}. Logo $\mathrm{ev}$ é injetora; como
$\dim V^{**} = \dim V^* = \dim V$, é isomorfismo (\vejacard{cor-equiv}).
Para a última afirmação: $\mathrm{ev}(v_i)(v_j^*) = v_j^*(v_i) = \delta_{ij}$, que é a
relação que define a base dual de $B^*$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}