Transformação linear
Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais. Uma função \(T:V\to W\) é uma transformação linear se, para todos \(u,v\in V\) e \(\lambda\in\R\), \[T(u+v) = T(u)+T(v)\qquad\text{e}\qquad T(\lambda v) = \lambda\,T(v).\] Quando \(V = W\), dizemos também que \(T\) é um operador linear em \(V\).
As somas dos dois lados são em espaços diferentes: à esquerda soma-se em \(V\), à direita em \(W\). A definição diz que tanto faz somar antes ou depois de aplicar \(T\); é a mesma frase para o produto por escalar. As duas condições são independentes, e as duas têm de ser verificadas: há funções \(\R^2\to\R^2\) que satisfazem \(f(\lambda v) = \lambda f(v)\) e não são lineares.
Em movimento: Linear transformations and matrices — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\begin{cartao}
Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais. Uma função
$T:V\to W$ é uma \textbf{transformação linear} se, para todos $u,v\in V$ e $\lambda\in\R$,
\[T(u+v) = T(u)+T(v)\qquad\text{e}\qquad T(\lambda v) = \lambda\,T(v).\]
Quando $V = W$, dizemos também que $T$ é um \textbf{operador linear} em $V$.
\noindent As somas dos dois lados são em espaços diferentes: à esquerda soma-se em $V$, à
direita em $W$. A definição diz que tanto faz somar antes ou depois de aplicar $T$; é a
mesma frase para o produto por escalar. As duas condições são independentes, e as duas têm
de ser verificadas: há funções $\R^2\to\R^2$ que satisfazem $f(\lambda v) = \lambda f(v)$ e
não são lineares.
\end{cartao}