Propriedades das formas alternadas

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\cardid{prop-alt}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Propriedades das formas alternadas}
\cardtags{}
\cardautor{}

\cardrequer{def-altk, def-li}
\cardrequerdem{prop-simalt, cor-npontos}
\cardveja{prop-props}

\begin{cartao}

\emph{Seja
$\omega\in\Alt^k(V)$.}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{Trocar duas entradas de lugar muda o sinal de $\omega$.}
\item \emph{Se $u_1,\ldots,u_k$ são LD, então $\omega(u_1,\ldots,u_k) = 0$.}
\item \emph{Se $k>\dim V$, então $\Alt^k(V) = \{0\}$.}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
 \begin{scope}
  \fill[Fazul!15] (0,0)--(2,0.4)--(2.7,1.9)--(0.7,1.5)--cycle;
  \draw[vet,Fazul] (0,0)--(2,0.4);
  \draw[vet,Flaranja] (0,0)--(0.7,1.5);
  \draw[tr] (2,0.4)--(2.7,1.9)--(0.7,1.5);
  \node[cxs,Fazul,anchor=north] at (1.1,0.15) {$u$};
  \node[cxs,Flaranja,anchor=east] at (0.35,0.8) {$v$};
  \draw[->,Fverde,line width=0.8pt] (1.6,0.7) arc (-30:220:0.3);
  \node[cx] at (1.3,-0.8) {$\omega(u,v)>0$};
 \end{scope}
 \begin{scope}[shift={(5,0)}]
  \fill[Frosa!12] (0,0)--(2,0.4)--(2.7,1.9)--(0.7,1.5)--cycle;
  \draw[vet,Flaranja] (0,0)--(2,0.4);
  \draw[vet,Fazul] (0,0)--(0.7,1.5);
  \draw[tr] (2,0.4)--(2.7,1.9)--(0.7,1.5);
  \node[cxs,Flaranja,anchor=north] at (1.1,0.15) {$v$};
  \node[cxs,Fazul,anchor=east] at (0.35,0.8) {$u$};
  \draw[<-,Frosa,line width=0.8pt] (1.6,0.7) arc (-30:220:0.3);
  \node[cx] at (1.3,-0.8) {$\omega(v,u) = -\omega(u,v)$};
 \end{scope}
 \begin{scope}[shift={(10,0)}]
  \draw[vet,Fazul] (0,0)--(2,0.4);
  \draw[vet,Flaranja] (0,0)--(1.3,0.26);
  \node[cxs,Fazul,anchor=south] at (2,0.45) {$u$};
  \node[cxs,Flaranja,anchor=south] at (1.1,0.3) {$v$};
  \node[cx] at (1.3,-0.8) {LD: $\omega(u,v) = 0$};
 \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

{\footnotesize\itshape A forma $\omega = \det$ em $\R^2$ como área orientada. O valor é a
área do paralelogramo, com sinal dado pelo sentido de giro de $u$ para $v$. Trocar a ordem
inverte o sentido (e o sinal); vetores LD geram um paralelogramo achatado, de área nula.\par}

\begin{demonstracao}

(a) É a conta da \vejacard{prop-simalt}, feita nas duas entradas trocadas com as
outras fixas. (b) Se, digamos, $u_1 = \sum_{i\geq2}a_iu_i$, a linearidade na primeira
entrada dá uma soma de termos $a_i\,\omega(u_i,u_2,\ldots,u_k)$, cada um com uma entrada
repetida. (c) Mais de $n$ vetores são sempre LD (\vejacard{cor-npontos}).

\end{demonstracao}

\end{cartao}