Existência do determinante: a fórmula de Leibniz
A fórmula \[\det A := \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\, a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}\] define uma forma \(n\)-linear alternada nas colunas de \(A\), com \(\det I_n = 1\). Portanto: existe uma e uma só forma \(n\)-linear alternada valendo \(1\) na base canônica, e é o determinante.
Demonstração
\(n\)-linear: cada parcela contém exatamente um fator de cada coluna — o fator \(a_{\sigma(j)j}\) vem da coluna \(j\) —, logo cada parcela é linear em cada coluna, e a soma também.
Alternada: suponha \(C_k = C_\ell\) com \(k\neq\ell\), isto é, \(a_{ik} = a_{i\ell}\) para todo \(i\). Seja \(\tau\) a transposição que troca \(k\) e \(\ell\); a aplicação \(\sigma\mapsto\sigma\tau\) é uma bijeção de \(S_n\) que troca o sinal. Reindexando o produto associado a \(\sigma\tau\) pela substituição \(j' = \tau(j)\), \[\prod_{j} a_{\sigma\tau(j)\,j} = \prod_{j'} a_{\sigma(j')\,\tau(j')} = a_{\sigma(k)\ell}\,a_{\sigma(\ell)k}\!\!\prod_{j'\neq k,\ell}\!\! a_{\sigma(j')j'} = a_{\sigma(k)k}\,a_{\sigma(\ell)\ell}\!\!\prod_{j'\neq k,\ell}\!\! a_{\sigma(j')j'} = \prod_{j} a_{\sigma(j)j},\] onde na terceira igualdade usamos \(a_{ik} = a_{i\ell}\). Ou seja: \(\sigma\) e \(\sigma\tau\) contribuem com o mesmo produto e com sinais opostos. As parcelas se cancelam duas a duas e a soma é zero.
Valor na identidade: em \(I_n\), o produto \(a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}\) é nulo a menos que \(\sigma = \mathrm{id}\), e para essa vale \(1\).
Outra demonstração da existência, sem permutações. Esta versão substitui a fórmula de Leibniz por uma definição recursiva, e com isso dispensa a discussão sobre sinal de permutação.
A construção. Defina \(D_1\big([\,a\,]\big) := a\) e, para \(n\geq2\), defina recursivamente \[D_n(A) := \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}\,a_{i1}\,D_{n-1}(A_{i1}),\] onde \(A_{i1}\) é a matriz obtida de \(A\) apagando a linha \(i\) e a primeira coluna. (É o desenvolvimento pela primeira coluna, usado agora como definição.)
Afirmação. \(D_n\) é \(n\)-linear e alternada nas colunas, e \(D_n(I_n)=1\). Pelo Teorema 4.5, segue que \(D_n\) é a única forma com essas propriedades — isto é, \(D_n = \det\), e a existência está provada.
Demonstração, por indução em \(n\). Para \(n=1\) tudo é trivial. Suponha o resultado para \(n-1\).
(1) \(D_n(I_n) = 1\). Na soma, \(a_{i1} = 0\) para \(i\geq2\); sobra a parcela \(i=1\), que vale \(1\cdot D_{n-1}(I_{n-1}) = 1\) pela hipótese de indução.
(2) \(D_n\) é linear em cada coluna. Na coluna \(1\): o fator \(D_{n-1}(A_{i1})\) não vê a primeira coluna, e o fator \(a_{i1}\) é linear nela; logo cada parcela é linear na coluna \(1\). Numa coluna \(j\geq2\): o fator \(a_{i1}\) não a vê, e \(A_{i1}\) contém essa coluna (sem a linha \(i\)), de modo que \(D_{n-1}(A_{i1})\) é linear nela por hipótese de indução.
(3) \(D_n(A) = 0\) quando duas colunas vizinhas são iguais. Sejam \(C_j = C_{j+1}\).
Caso \(j\geq2\). Cada menor \(A_{i1}\) ainda tem essas duas colunas, agora vizinhas nas posições \(j-1\) e \(j\); por indução, \(D_{n-1}(A_{i1}) = 0\) para todo \(i\), e a soma é nula.
Caso \(j=1\), isto é, \(C_1 = C_2\). Aqui os menores não têm colunas repetidas, e é preciso trabalhar. Expanda mais uma vez: a primeira coluna de \(A_{i1}\) é \(C_2\) sem a linha \(i\) — que, por hipótese, é \(C_1\) sem a linha \(i\), de entradas \(a_{k1}\) com \(k\neq i\). Aplicando a definição de \(D_{n-1}\) a \(A_{i1}\), \[D_n(A) = \sum_{i=1}^n\ \sum_{k\neq i} (-1)^{i+1}\,(-1)^{p(i,k)+1}\,a_{i1}\,a_{k1}\, D_{n-2}\big(A_{\{i,k\},\{1,2\}}\big),\] onde \(A_{\{i,k\},\{1,2\}}\) é \(A\) sem as linhas \(i,k\) e sem as colunas \(1,2\), e \(p(i,k)\) é a posição da linha \(k\) dentro de \(A_{i1}\), a saber \[p(i,k) = k\ \text{ se } k<i,\qquad p(i,k) = k-1\ \text{ se } k>i.\] Agora compare as parcelas \((i,k)\) e \((k,i)\), com \(i<k\). Elas têm o mesmo produto \(a_{i1}a_{k1}\) e o mesmo menor \(A_{\{i,k\},\{1,2\}}\). Quanto aos sinais: \[(i,k):\ (-1)^{i+1}(-1)^{(k-1)+1} = (-1)^{i+k-1}, \qquad (k,i):\ (-1)^{k+1}(-1)^{i+1} = (-1)^{i+k}.\] São opostos. Logo as parcelas se cancelam duas a duas, e \(D_n(A) = 0\).
(4) De vizinhas para quaisquer. De (2) e (3) segue, pelo mesmo cálculo da Proposição 4.3(a) aplicado a duas colunas vizinhas, que trocar duas colunas vizinhas troca o sinal de \(D_n\). Se agora \(C_i = C_j\) com \(i<j\), empurre a coluna \(j\) para a esquerda por trocas de vizinhas sucessivas, até ela ficar ao lado da coluna \(i\): cada troca multiplica \(D_n\) por \(-1\), e a matriz final tem duas colunas vizinhas iguais, logo \(D_n\) nela é \(0\) por (3). Portanto \(D_n(A) = \pm\,0 = 0\).
A construção alternativa. Em (a), a definição recursiva: o determinante de ordem \(n\) é a primeira coluna contra os menores de ordem \(n-1\), com sinais alternados. Em (b), o passo delicado — quando as duas primeiras colunas coincidem, expandir duas vezes produz um termo para cada par ordenado \((i,k)\) com \(i\neq k\), e os dois termos de cada par têm o mesmo produto e sinais opostos. O quadro inteiro se cancela.
Esta construção já entrega o desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna — que é literalmente a definição de \(D_n\). O Teorema 4.20 o estende a uma linha ou coluna qualquer.
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\begin{cartao}
\emph{A fórmula}
\[\det A := \sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\,
a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}\]
\emph{define uma forma $n$-linear alternada nas colunas de $A$, com $\det I_n = 1$.
Portanto: existe uma e uma só forma $n$-linear alternada valendo $1$ na base canônica, e é
o determinante.}
\begin{demonstracao}
\emph{$n$-linear:} cada parcela contém exatamente um fator de cada coluna --- o fator
$a_{\sigma(j)j}$ vem da coluna $j$ ---, logo cada parcela é linear em cada coluna, e a soma
também.
\emph{Alternada:} suponha $C_k = C_\ell$ com $k\neq\ell$, isto é, $a_{ik} = a_{i\ell}$ para
todo $i$. Seja $\tau$ a transposição que troca $k$ e $\ell$; a aplicação
$\sigma\mapsto\sigma\tau$ é uma bijeção de $S_n$ que troca o sinal. Reindexando o produto
associado a $\sigma\tau$ pela substituição $j' = \tau(j)$,
\[\prod_{j} a_{\sigma\tau(j)\,j} = \prod_{j'} a_{\sigma(j')\,\tau(j')}
= a_{\sigma(k)\ell}\,a_{\sigma(\ell)k}\!\!\prod_{j'\neq k,\ell}\!\! a_{\sigma(j')j'}
= a_{\sigma(k)k}\,a_{\sigma(\ell)\ell}\!\!\prod_{j'\neq k,\ell}\!\! a_{\sigma(j')j'}
= \prod_{j} a_{\sigma(j)j},\]
onde na terceira igualdade usamos $a_{ik} = a_{i\ell}$. Ou seja: $\sigma$ e $\sigma\tau$
contribuem com o \emph{mesmo} produto e com sinais \emph{opostos}. As parcelas se cancelam
duas a duas e a soma é zero.
\emph{Valor na identidade:} em $I_n$, o produto $a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}$ é
nulo a menos que $\sigma = \mathrm{id}$, e para essa vale $1$.
\medskip
\noindent\textbf{Outra demonstração da existência, sem permutações.} Esta versão substitui a
fórmula de Leibniz por uma definição recursiva, e com isso dispensa a discussão sobre sinal
de permutação.
\medskip
\noindent\textbf{A construção.} Defina $D_1\big([\,a\,]\big) := a$ e, para $n\geq2$, defina
recursivamente
\[D_n(A) := \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}\,a_{i1}\,D_{n-1}(A_{i1}),\]
onde $A_{i1}$ é a matriz obtida de $A$ apagando a \emph{linha $i$} e a \emph{primeira
coluna}. (É o desenvolvimento pela primeira coluna, usado agora como \emph{definição}.)
\medskip
\noindent\textbf{Afirmação.} \emph{$D_n$ é $n$-linear e alternada nas colunas, e
$D_n(I_n)=1$.} Pelo \vejacard{thm-unico}, segue que $D_n$ é a única forma com essas
propriedades --- isto é, $D_n = \det$, e a existência está provada.
\medskip
\noindent\emph{Demonstração, por indução em $n$.} Para $n=1$ tudo é trivial. Suponha o
resultado para $n-1$.
\smallskip
\noindent\emph{(1) $D_n(I_n) = 1$.} Na soma, $a_{i1} = 0$ para $i\geq2$; sobra a parcela
$i=1$, que vale $1\cdot D_{n-1}(I_{n-1}) = 1$ pela hipótese de indução.
\smallskip
\noindent\emph{(2) $D_n$ é linear em cada coluna.} Na coluna $1$: o fator $D_{n-1}(A_{i1})$
não vê a primeira coluna, e o fator $a_{i1}$ é linear nela; logo cada parcela é linear na
coluna $1$. Numa coluna $j\geq2$: o fator $a_{i1}$ não a vê, e $A_{i1}$ contém essa coluna
(sem a linha $i$), de modo que $D_{n-1}(A_{i1})$ é linear nela por hipótese de indução.
\smallskip
\noindent\emph{(3) $D_n(A) = 0$ quando duas colunas \emph{vizinhas} são iguais.} Sejam
$C_j = C_{j+1}$.
\emph{Caso $j\geq2$.} Cada menor $A_{i1}$ ainda tem essas duas colunas, agora vizinhas nas
posições $j-1$ e $j$; por indução, $D_{n-1}(A_{i1}) = 0$ para todo $i$, e a soma é nula.
\emph{Caso $j=1$}, isto é, $C_1 = C_2$. Aqui os menores não têm colunas repetidas, e é
preciso trabalhar. Expanda mais uma vez: a primeira coluna de $A_{i1}$ é $C_2$ sem a linha
$i$ --- que, por hipótese, é $C_1$ sem a linha $i$, de entradas $a_{k1}$ com $k\neq i$.
Aplicando a definição de $D_{n-1}$ a $A_{i1}$,
\[D_n(A) = \sum_{i=1}^n\ \sum_{k\neq i} (-1)^{i+1}\,(-1)^{p(i,k)+1}\,a_{i1}\,a_{k1}\,
D_{n-2}\big(A_{\{i,k\},\{1,2\}}\big),\]
onde $A_{\{i,k\},\{1,2\}}$ é $A$ sem as linhas $i,k$ e sem as colunas $1,2$, e $p(i,k)$ é a
\emph{posição} da linha $k$ dentro de $A_{i1}$, a saber
\[p(i,k) = k\ \text{ se } k<i,\qquad p(i,k) = k-1\ \text{ se } k>i.\]
Agora compare as parcelas $(i,k)$ e $(k,i)$, com $i<k$. Elas têm o \emph{mesmo} produto
$a_{i1}a_{k1}$ e o \emph{mesmo} menor $A_{\{i,k\},\{1,2\}}$. Quanto aos sinais:
\[(i,k):\ (-1)^{i+1}(-1)^{(k-1)+1} = (-1)^{i+k-1},
\qquad
(k,i):\ (-1)^{k+1}(-1)^{i+1} = (-1)^{i+k}.\]
São opostos. Logo as parcelas se cancelam duas a duas, e $D_n(A) = 0$.
\smallskip
\noindent\emph{(4) De vizinhas para quaisquer.} De (2) e (3) segue, pelo mesmo cálculo da
\vejacard{prop-props}(a) aplicado a duas colunas \emph{vizinhas}, que trocar duas
colunas vizinhas troca o sinal de $D_n$. Se agora $C_i = C_j$ com $i<j$, empurre a coluna
$j$ para a esquerda por trocas de vizinhas sucessivas, até ela ficar ao lado da coluna $i$:
cada troca multiplica $D_n$ por $-1$, e a matriz final tem duas colunas vizinhas iguais,
logo $D_n$ nela é $0$ por (3). Portanto $D_n(A) = \pm\,0 = 0$.
\medskip
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\begin{scope}
\fill[Aazul!12] (-0.34,-1.95) rectangle (0.34,0.34);
\foreach \r in {0,1,2,3}{
\foreach \c in {0,1,2}{
\node[cxs,Aazul!60] at (0.76*\c,-0.62*\r) {$\ast$};}}
\foreach \r/\a in {0/{a_{11}},1/{a_{21}},2/{a_{31}},3/{a_{41}}}{
\node[cxs,Aazul] at (0,-0.62*\r) {$\a$};}
\draw[line width=0.8pt,Aazul] (-0.28,-2.02)--(-0.52,-2.02)--(-0.52,0.42)--(-0.28,0.42);
\draw[line width=0.8pt,Aazul] (1.80,-2.02)--(2.04,-2.02)--(2.04,0.42)--(1.80,0.42);
\foreach \r/\sg in {0/{+},1/{-},2/{+},3/{-}}{
\node[cxs,Aazul,anchor=east] at (-0.75,-0.62*\r) {$\sg$};}
\draw[-{Stealth[length=2.2mm]},Aazul,line width=0.8pt] (2.3,-0.8)--(3.3,-0.8);
\node[cxs,Aazul,anchor=west,align=left] at (3.4,-0.8)
{$D_n(A) = \displaystyle\sum_i(-1)^{i+1}a_{i1}\,D_{n-1}(A_{i1})$};
\node[cxs,Aazul,anchor=north,align=center] at (0.76,-2.35)
{\textbf{(a)} a definição recursiva:\\ primeira coluna vezes menores};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(9.9,-0.75)}]
\foreach \i in {0,1,2,3}{
\foreach \k in {0,1,2,3}{
\ifnum\i=\k
\fill[Aazul!22] ({0.62*\k-0.30},{-0.62*\i-0.28}) rectangle
({0.62*\k+0.30},{-0.62*\i+0.28});
\node[cxs,Aazul!70] at (0.62*\k,-0.62*\i) {$\times$};
\else
\draw[Aazul!45,line width=0.4pt] ({0.62*\k-0.30},{-0.62*\i-0.28}) rectangle
({0.62*\k+0.30},{-0.62*\i+0.28});
\fi}}
\fill[Aazul!35] ({0.62*3-0.30},{-0.62*1-0.28}) rectangle ({0.62*3+0.30},{-0.62*1+0.28});
\fill[Aazul!35] ({0.62*1-0.30},{-0.62*3-0.28}) rectangle ({0.62*1+0.30},{-0.62*3+0.28});
\node[cxs,Aazul] at (0.62*3,-0.62*1) {$+$};
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\draw[Aazul,line width=0.8pt] (0.62*3,-0.62*1-0.30) .. controls (1.55,-1.55) ..
(0.62*1,-0.62*3+0.30);
\node[cxs,Aazul,anchor=west] at (-0.95,0.55) {$k$};
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\node[cxs,Aazul,anchor=west,align=left] at (2.4,-0.95)
{$(i,k)$ e $(k,i)$:\\ mesmo produto $a_{i1}a_{k1}$,\\ mesmo menor,\\
\emph{sinais opostos}};
\node[cxs,Aazul,anchor=north,align=center] at (0.95,-2.45)
{\textbf{(b)} as parcelas se cancelam\\ aos pares};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape A construção alternativa. Em \textbf{(a)}, a
definição recursiva: o determinante de ordem $n$ é a primeira coluna contra os menores de
ordem $n-1$, com sinais alternados. Em \textbf{(b)}, o passo delicado --- quando as duas
primeiras colunas coincidem, expandir duas vezes produz um termo para cada par ordenado
$(i,k)$ com $i\neq k$, e os dois termos de cada par têm o mesmo produto e sinais opostos. O
quadro inteiro se cancela.\par}
\medskip
\noindent Esta construção já entrega o desenvolvimento de
Laplace \emph{pela primeira coluna} --- que é literalmente a definição de $D_n$. O
\vejacard{thm-laplace} o estende a uma linha ou coluna qualquer.
\end{demonstracao}
\end{cartao}