Início · Capítulo 1 · Espaços vetoriais e transformações lineares
No Exemplo 1.27 e no Exemplo 1.28, uma bijeção \(\varphi\) transformava as operações estranhas nas usuais: \(\varphi(u\oplus v) = \varphi(u)+\varphi(v)\) e \(\varphi(\lambda\odot u) = \lambda\varphi(u)\). Essas duas igualdades viram definição: a de transformação linear (Definição 1.36).
Sejam \(V\) e \(W\) espaços vetoriais. Uma função \(T:V\to W\) é uma transformação linear se, para todos \(u,v\in V\) e \(\lambda\in\R\), \[T(u+v) = T(u)+T(v)\qquad\text{e}\qquad T(\lambda v) = \lambda\,T(v).\] Quando \(V = W\), dizemos também que \(T\) é um operador linear em \(V\).
As somas dos dois lados são em espaços diferentes: à esquerda soma-se em \(V\), à direita em \(W\). A definição diz que tanto faz somar antes ou depois de aplicar \(T\); é a mesma frase para o produto por escalar. As duas condições são independentes, e as duas têm de ser verificadas: há funções \(\R^2\to\R^2\) que satisfazem \(f(\lambda v) = \lambda f(v)\) e não são lineares.
Em movimento: Linear transformations and matrices — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
Seja \(T:V\to W\) linear. Então:
\(T(0) = 0\) e \(T(-v) = -T(v)\);
\(T(a_1v_1+\cdots+a_kv_k) = a_1T(v_1)+\cdots+a_kT(v_k)\) para quaisquer \(v_i\in V\) e \(a_i\in\R\);
reciprocamente, uma função \(T:V\to W\) com \(T(u+\lambda v) = T(u)+\lambda T(v)\) para todos \(u,v,\lambda\) é linear.
O item (a) dá um teste rápido de não-linearidade: se \(T(0)\neq0\), \(T\) não é linear. O item (c) é o modo econômico de verificar linearidade: uma conta só, em vez de duas.
(a) \(T(0) = T(0\cdot0) = 0\cdot T(0) = 0\), pela Proposição 1.7, aplicada duas vezes (em \(V\) e em \(W\)). E \(T(-v) = T((-1)v) = (-1)T(v) = -T(v)\).
(b) Indução em \(k\). Para \(k=1\) é a segunda condição da definição. Supondo válido para \(k-1\), \[T\Big(\sum_{i=1}^{k}a_iv_i\Big) = T\Big(\sum_{i=1}^{k-1}a_iv_i\Big)+T(a_kv_k) = \sum_{i=1}^{k-1}a_iT(v_i)+a_kT(v_k).\]
(c) Com \(\lambda = 1\) obtemos a aditividade. Com \(u = 0\) obtemos \(T(\lambda v) = T(0)+\lambda T(v)\); e \(T(0) = 0\) porque, com \(u = v = 0\) e \(\lambda = 1\), \(T(0) = T(0)+T(0)\), e cancela-se.
Multiplicação por uma matriz. Dada \(A\in\Mat{m}{n}\), a função \(T_A:\R^n\to\R^m\), \(T_A(X) = AX\) (vetores escritos como colunas), é linear. A linearidade é \(A(X+\lambda Y) = AX+\lambda AY\), que é o item (c) da Proposição 1.37.
Derivada. \(D:\Pol{n}\to \Pol{n}\), \(D(p) = p'\), é linear. A verificação é uma linha, usando o item (c) da Proposição 1.37.
Em movimento: Abstract vector spaces — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
Integral. \(J:\Pol{n}\to \Pol{n+1}\), \(J(p)(x) = \int_0^xp(t)\,dt\), é linear. A verificação é uma linha, usando o item (c) da Proposição 1.37.
Avaliação. Fixado \(a\in\R\), a função \(\mathrm{ev}_a:\Pol{n}\to\R\), \(\mathrm{ev}_a(p) = p(a)\), é linear. A linearidade é a definição das operações ponto a ponto (Exemplo 1.19).
Transposição e multiplicação à esquerda. São lineares \(A\mapsto A^t\) em \(\Mat{n}{n}\) e, fixada \(M\), \(A\mapsto MA\). A verificação é uma linha, usando o item (c) da Proposição 1.37.
O traço. \(\tr:\Mat{n}{n}\to\R\), \(\tr(A) = a_{11}+\cdots+a_{nn}\), é linear. A verificação é uma linha, usando o item (c) da Proposição 1.37.
Rotação e projeção em \(\R^2\). A rotação de ângulo \(\theta\), \(R_\theta(x,y) = (x\cos\theta-y\sen\theta,\ x\sen\theta+y\cos\theta)\), e a projeção \(P(x,y) = (x,0)\), são lineares. Ambas são da forma \(T_A\) (Exemplo 1.38). Geometricamente: rodar um paralelogramo dá um paralelogramo, e por isso rodar \(u+v\) é o mesmo que somar os rodados.
Uma transformação linear do plano leva a malha quadriculada numa malha de paralelogramos, e retas em retas. A malha da direita fica inteira determinada pelas duas flechas \(T(e_1)\) e \(T(e_2)\): o ponto que tinha coordenadas \((1,2)\) na malha da esquerda vai no ponto de coordenadas \((1,2)\) na malha da direita. É a Proposição 1.53 em uma figura: as duas flechas da direita são as colunas da matriz (Corolário 1.54). A “casinha” verde mostra que a figura inteira se deforma, e não só os vetores da base.
Em movimento: Linear transformations and matrices — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
Translação. \(T(x,y) = (x+1,y)\) não é linear: \(T(0,0) = (1,0)\neq(0,0)\), contra o item (a) da Proposição 1.37. Na figura, \(T(u+v)\) e \(T(u)+T(v)\) diferem exatamente pelo deslocamento \((1,0)\) contado uma vez a mais.
A translação \(T(x,y) = (x+1,y)\) não comuta com a soma. Ao calcular \(T(u)+T(v)\), o deslocamento \((1,0)\) entra duas vezes; em \(T(u+v)\), uma vez só. O ponto rosa, \(T(0)\neq0\), é o sintoma mais rápido de detectar.
Determinante. \(\det:\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\to\R\) não é linear: \(\det(I+I) = 4\neq2 = \det I+\det I\). Também \(\det(\lambda A) = \lambda^2\det A\).
Quadrado. \(f:\R\to\R\), \(f(x) = x^2\), não é linear: \(f(2x) = 4f(x)\). As lineares \(\R\to\R\) são exatamente as \(x\mapsto cx\), porque \(f(x) = f(x\cdot1) = x f(1)\).
Se \(T:V\to W\) e \(S:W\to U\) são lineares, então \(S\circ T:V\to U\) é linear.
\((S\circ T)(u+\lambda v) = S\big(T(u)+\lambda T(v)\big) = S(T(u))+\lambda S(T(v))\).
Em movimento: Matrix multiplication as composition — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
Com a derivada (Exemplo 1.39) e a integral (Exemplo 1.40), no espaço \(\Poli\) de todos os polinômios: \[D\circ J = \mathrm{Id},\qquad\text{mas}\qquad (J\circ D)(p) = p-p(0).\] A primeira é o teorema fundamental do cálculo; a segunda diz que \(J\circ D\) perde a constante. Guarde este par: \(J\) tem inversa à esquerda e não à direita. Isso é impossível em dimensão finita (Corolário 2.93) — e \(\Poli\) não tem dimensão finita.
Seja \(\Lin(V,W)\) o conjunto das transformações lineares de \(V\) em \(W\), com as operações \((T+S)(v) = T(v)+S(v)\) e \((\lambda T)(v) = \lambda T(v)\). Então \(\Lin(V,W)\) é um espaço vetorial.
As operações são as de \(\mathcal{F}(V,W)\), o espaço de todas as funções \(V\to W\) com operações ponto a ponto, que é espaço vetorial pelo mesmo argumento do Exemplo 1.19 (só que com valores em \(W\)). Como na Nota 1.25, basta ver que as operações não saem de \(\Lin(V,W)\), e que a função nula e \(-T\) são lineares. Para a soma: \[(T+S)(u+\mu v) = T(u)+\mu T(v)+S(u)+\mu S(v) = (T+S)(u)+\mu(T+S)(v);\] o produto por escalar é igual, e \(0 = 0\cdot T\) e \(-T = (-1)T\) são casos dele.
Dizemos que \(v_1,\ldots,v_k\) geram \(V\) se todo \(v\in V\) é combinação linear deles (veja também a Definição 2.37).
Sejam \(v_1,\ldots,v_k\) vetores que geram \(V\), e \(T,S:V\to W\) lineares com \(T(v_i) = S(v_i)\) para todo \(i\). Então \(T = S\).
Dado \(v\in V\), escreva \(v = \sum_ia_iv_i\). Pelo item (b) da Proposição 1.37, \[T(v) = \sum_ia_iT(v_i) = \sum_ia_iS(v_i) = S(v).\]
Dados \(w_1,\ldots,w_n\in W\) quaisquer, existe uma única transformação linear \(T:\R^n\to W\) com \(T(e_i) = w_i\) para todo \(i\), a saber \[T(x_1,\ldots,x_n) = x_1w_1+\cdots+x_nw_n.\]
A proposição vale com qualquer base no lugar de \(e_1,\ldots,e_n\); para isso é preciso saber o que é base (Definição 2.64).
A fórmula é linear: \(T(x+\lambda y) = \sum_i(x_i+\lambda y_i)w_i = T(x)+\lambda T(y)\). E \(T(e_i) = w_i\). A unicidade é a Proposição 1.52, porque \(e_1,\ldots,e_n\) geram \(\R^n\).
Toda transformação linear \(T:\R^n\to\R^m\) é \(T = T_A\) para uma única matriz \(A\in\Mat{m}{n}\): a matriz cuja \(j\)-ésima coluna é \(T(e_j)\).
É o caso \(V=\R^n\), \(W=\R^m\) da matriz de uma transformação linear em bases quaisquer (Definição 3.2).
\(T_A(e_j) = Ae_j\) é a \(j\)-ésima coluna de \(A\). Se escolhemos essa coluna igual a \(T(e_j)\), então \(T_A\) e \(T\) coincidem nos \(e_j\), e a Proposição 1.52 dá \(T = T_A\).
Em movimento: Linear transformations and matrices · Three-dimensional linear transformations — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
Uma transformação linear \(T:\R^2\to\R^3\) com \(T(1,0) = (1,1,2)\) e \(T(0,1) = (0,1,-1)\): existe e é única, \(T(x,y) = (x,\ x+y,\ 2x-y)\).
Procura-se uma transformação linear \(T:\R^2\to\R^3\) com \(T(2,1) = (3,1,-1)\) e \(T(-1,1) = (1,0,2)\). Escrevemos \(e_1\) e \(e_2\) como combinações dos vetores dados: \[e_1 = \tfrac13\big[(2,1)-(-1,1)\big],\qquad e_2 = \tfrac13\big[(2,1)+2(-1,1)\big].\] Se \(T\) existe, então obrigatoriamente \[T(e_1) = \tfrac13\big[(3,1,-1)-(1,0,2)\big] = \big(\tfrac23,\tfrac13,-1\big),\qquad T(e_2) = \tfrac13\big[(3,1,-1)+2(1,0,2)\big] = \big(\tfrac53,\tfrac13,1\big).\] Reciprocamente, a transformação com esses valores em \(e_1,e_2\) (Proposição 1.53) satisfaz \(T(2,1) = 2T(e_1)+T(e_2) = (3,1,-1)\) e \(T(-1,1) = -T(e_1)+T(e_2) = (1,0,2)\). Existe e é única.
Uma transformação linear \(T:\R^2\to\R^2\) com \(T(1,1) = (1,0)\) e \(T(2,2) = (0,1)\): não existe, porque \((2,2) = 2(1,1)\) obriga \(T(2,2) = 2T(1,1) = (2,0)\).
Os dados só são incompatíveis quando há uma relação linear entre os vetores de partida que não é respeitada pelos de chegada. É a semente da independência linear (Definição 2.44).
Seja \(T:V\to W\) linear. O núcleo e a imagem de \(T\) são \[\Nuc(T) = \{v\in V: T(v) = 0\}\subset V,\qquad \Ima(T) = \{T(v): v\in V\}\subset W.\]
Os dois contêm o vetor nulo (de \(V\) e de \(W\), respectivamente) e são fechados por combinações lineares: se \(T(u) = T(v) = 0\) então \(T(u+\lambda v) = 0\); e \(T(u)+\lambda T(v) = T(u+\lambda v)\). Conjuntos assim são chamados subespaços (Definição 2.2).
Em movimento: Inverse matrices, column space, and null space — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
Seja \(T:V\to W\) linear e \(v_0\in V\). Então \[\{v\in V : T(v) = T(v_0)\} = v_0+\Nuc(T) := \{v_0+u : u\in \Nuc(T)\}.\]
As fibras de \(T(x,y) = x+y\). Cada reta paralela ao núcleo (verde) é levada inteira num único ponto de \(\R\): a reta azul, que passa por \(v_0 = (1,1)\), vai no \(2\). A proposição diz que isso vale sempre: as fibras de \(T\) são cópias transladadas do núcleo.
Leitura da figura: \(T\) é injetora exatamente quando as fibras têm um ponto só — e, como todas são cópias do núcleo, basta olhar o núcleo. É a Proposição 1.60.
\(T(v) = T(v_0)\iff T(v)-T(v_0) = 0\iff T(v-v_0) = 0\iff v-v_0\in \Nuc(T)\).
Uma transformação linear \(T\) é injetora se e somente se \(\Nuc(T) = \{0\}\).
(\(\Rightarrow\)) Se \(T(v) = 0 = T(0)\), a injetividade dá \(v = 0\). (\(\Leftarrow\)) Se \(T(u) = T(v)\), a Proposição 1.59 dá \(u\in v+\Nuc(T) = \{v\}\).
Sistemas lineares, antecipados. Com \(T = T_A\), a Proposição 1.59 diz: se \(X_0\) é uma solução de \(AX = b\), então todas as soluções são \(X_0+X_h\), com \(X_h\) solução do sistema homogêneo \(AX = 0\). E \(AX = b\) tem solução se e somente se \(b\in\Ima(T_A)\). É o esqueleto do estudo dos sistemas lineares (Teorema 3.22 e Proposição 3.21).
\(D:\Pol{n}\to \Pol{n}\): \(\Nuc(D)\) são os polinômios constantes e \(\Ima(D) = \Pol{n-1}\) (todo polinômio de grau \(\leq n-1\) é derivada de sua integral). \(D\) não é injetora nem sobrejetora.
\(T_A:\R^3\to\R^2\) com \(A = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\): \(N(T_A)\) é dado por \(x+y = 0\), \(y+z = 0\), isto é, \(N(T_A) = \{t(1,-1,1): t\in\R\}\), uma reta. A imagem é \(\R^2\) inteiro, porque \(T_A(e_1) = (1,0)\) e \(T_A(e_3) = (0,1)\) já geram \(\R^2\).
Em movimento: Nonsquare matrices as transformations between dimensions — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
\(\tr:\Mat{n}{n}\to\R\): a imagem é \(\R\) (pois \(\tr(\lambda E_{11}) = \lambda\)), e o núcleo são as matrizes de traço nulo.
Deslocamentos nas sequências. Em \(\mathcal{F}(\N,\R)\), sejam \[S_d(x_0,x_1,x_2,\ldots) = (0,x_0,x_1,\ldots),\qquad S_e(x_0,x_1,x_2,\ldots) = (x_1,x_2,x_3,\ldots).\] \(S_d\) é injetora (\(N(S_d) = \{0\}\)) e não sobrejetora (a imagem são as sequências com \(x_0 = 0\)). \(S_e\) é sobrejetora e não injetora (\(N(S_e)\) são as sequências nulas a partir do segundo termo). E \(S_e\circ S_d = \mathrm{Id}\), enquanto \(S_d\circ S_e\neq\mathrm{Id}\).
Os dois deslocamentos. \(S_d\) empurra tudo para a direita e põe um zero na frente (rosa): não perde informação, mas nunca produz uma sequência com \(x_0\neq0\). \(S_e\) empurra para a esquerda e descarta \(x_0\): atinge tudo, mas perde informação. Em dimensão finita esses dois comportamentos não podem ocorrer separados (Corolário 2.93).
Um isomorfismo é uma transformação linear bijetora. Se existe um isomorfismo \(V\to W\), dizemos que \(V\) e \(W\) são isomorfos e escrevemos \(V\iso W\).
Se \(T:V\to W\) é um isomorfismo, a função inversa \(T^{-1}:W\to V\) é linear (e portanto também é um isomorfismo).
Sejam \(w_1,w_2\in W\) e \(\lambda\in\R\), e ponha \(v_i = T^{-1}(w_i)\). Pela linearidade de \(T\), \[T(v_1+\lambda v_2) = w_1+\lambda w_2,\] isto é, \(T^{-1}(w_1+\lambda w_2) = v_1+\lambda v_2 = T^{-1}(w_1)+\lambda T^{-1}(w_2)\).
A composta de isomorfismos é isomorfismo, e \(\iso\) é uma relação de equivalência.
A composta de lineares é linear (Proposição 1.49) e a de bijeções é bijeção. A reflexividade é a identidade; a simetria é a Proposição 1.67; a transitividade é a composta.
\(\Pol{n}\iso\R^{n+1}\) por \(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\mapsto(a_0,\ldots,a_n)\).
\(\Mat{m}{n}\iso\R^{mn}\), listando as entradas linha a linha.
Nos exemplos Exemplo 1.27 e Exemplo 1.28: \(\varphi(x,y) = (x-1,y+2)\) é um isomorfismo do \(\R^2\) com as operações \((\oplus,\odot)\) no \(\R^2\) usual; e \(\log\) é um isomorfismo dos reais positivos com o produto em \(\R\) com a soma. A inversa do segundo é a exponencial, e a Proposição 1.67 diz que ela é linear — isto é, que \(e^{a+b} = e^ae^b\) e \(e^{\lambda a} = (e^a)^\lambda\).
\(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\iso \Pol{3}\), compondo os isomorfismos do Exemplo 1.69 e do Exemplo 1.70: \(\R^4\) está no meio.
Isomorfismo quer dizer: o mesmo espaço, com os vetores com outros nomes. Toda afirmação que só use as operações — “estes vetores geram”, “este conjunto é fechado para combinações” — é verdadeira num espaço se e somente se é verdadeira no outro. Isso não vale para afirmações que usem estrutura extra: “\(p\) tem uma raiz” faz sentido em \(\Pol{3}\) e não em \(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\).
A pergunta “quando dois espaços são isomorfos?” tem resposta em dimensão finita: quando têm a mesma dimensão (Corolário 2.95).