Produto por zero e por \(-1\)
Para todos \(v\in V\) e \(\lambda\in\R\):
\(0\,v = 0\) (à esquerda o número zero, à direita o vetor nulo);
\(\lambda\,0 = 0\);
\((-1)\,v = -v\).
Demonstração
(a) Como \(0 = 0+0\) em \(\R\), o axioma (D2) dá \[0v = (0+0)v = 0v+0v.\] Por (A3), também \(0v = 0+0v\); logo \(0+0v = 0v+0v\), e o Lema 1.5 dá \(0 = 0v\).
(b) Igual, usando (D1) no lugar de (D2): \(\lambda 0 = \lambda(0+0) = \lambda 0+\lambda 0\), e cancela-se.
(c) Basta ver que \((-1)v\) é um simétrico de \(v\), e usar a unicidade: \[v+(-1)v \overset{\text{(M2)}}{=} 1v+(-1)v \overset{\text{(D2)}}{=} (1+(-1))v = 0v = 0,\] a última igualdade pelo item (a).
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\cardtitulo{Produto por zero e por $-1$}
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\cardrequer{prop-unicidade-do-nulo-e-do-simetrico}
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\begin{cartao}
\emph{Para todos $v\in V$ e $\lambda\in\R$:}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{$0\,v = 0$ (à esquerda o número zero, à direita o vetor nulo);}
\item \emph{$\lambda\,0 = 0$;}
\item \emph{$(-1)\,v = -v$.}
\end{enumerate}
\begin{demonstracao}
(a) Como $0 = 0+0$ em $\R$, o axioma (D2) dá
\[0v = (0+0)v = 0v+0v.\]
Por (A3), também $0v = 0+0v$; logo $0+0v = 0v+0v$, e o \vejacard{lem-cancel} dá
$0 = 0v$.
(b) Igual, usando (D1) no lugar de (D2): $\lambda 0 = \lambda(0+0) = \lambda 0+\lambda 0$, e
cancela-se.
(c) Basta ver que $(-1)v$ é \emph{um} simétrico de $v$, e usar a unicidade:
\[v+(-1)v \overset{\text{(M2)}}{=} 1v+(-1)v \overset{\text{(D2)}}{=} (1+(-1))v = 0v = 0,\]
a última igualdade pelo item (a).
\end{demonstracao}
\end{cartao}