Derivada e integral: \(D\circ J = \mathrm{Id}\), mas \(J\circ D\neq\mathrm{Id}\)
Com a derivada (Exemplo 1.39) e a integral (Exemplo 1.40), no espaço \(\Poli\) de todos os polinômios: \[D\circ J = \mathrm{Id},\qquad\text{mas}\qquad (J\circ D)(p) = p-p(0).\] A primeira é o teorema fundamental do cálculo; a segunda diz que \(J\circ D\) perde a constante. Guarde este par: \(J\) tem inversa à esquerda e não à direita. Isso é impossível em dimensão finita (Corolário 2.93) — e \(\Poli\) não tem dimensão finita.
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\cardtitulo{Derivada e integral: $D\circ J = \mathrm{Id}$, mas $J\circ D\neq\mathrm{Id}$}
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\cardrequer{prop-comp, ex-derivada, ex-integral}
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\begin{cartao}
Com a derivada (\vejacard{ex-derivada}) e a integral (\vejacard{ex-integral}), no espaço
$\Poli$ de todos os polinômios:
\[D\circ J = \mathrm{Id},\qquad\text{mas}\qquad (J\circ D)(p) = p-p(0).\]
A primeira é o teorema fundamental do cálculo; a segunda diz que $J\circ D$ perde a
constante. Guarde este par: $J$ tem inversa à esquerda e não à direita. Isso é impossível em
dimensão finita (\vejacard{cor-equiv}) --- e $\Poli$ não tem dimensão finita.
\end{cartao}