\(T\) é injetora se e somente se \(\Nuc(T) = \{0\}\)
Uma transformação linear \(T\) é injetora se e somente se \(\Nuc(T) = \{0\}\).
Demonstração
(\(\Rightarrow\)) Se \(T(v) = 0 = T(0)\), a injetividade dá \(v = 0\). (\(\Leftarrow\)) Se \(T(u) = T(v)\), a Proposição 1.59 dá \(u\in v+\Nuc(T) = \{v\}\).
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\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{$T$ é injetora se e somente se $\Nuc(T) = \{0\}$}
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\cardrequer{def-nucimg}
\cardrequerdem{prop-fibras, prop-basicas}
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\begin{cartao}
Uma transformação linear $T$ é injetora se e
somente se $\Nuc(T) = \{0\}$.
\begin{demonstracao}
($\Rightarrow$) Se $T(v) = 0 = T(0)$, a injetividade dá $v = 0$.
($\Leftarrow$) Se $T(u) = T(v)$, a \vejacard{prop-fibras} dá $u\in v+\Nuc(T) = \{v\}$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}