Uma transformação linear do plano deforma a malha
Uma transformação linear do plano leva a malha quadriculada numa malha de paralelogramos, e retas em retas. A malha da direita fica inteira determinada pelas duas flechas \(T(e_1)\) e \(T(e_2)\): o ponto que tinha coordenadas \((1,2)\) na malha da esquerda vai no ponto de coordenadas \((1,2)\) na malha da direita. É a Proposição 1.53 em uma figura: as duas flechas da direita são as colunas da matriz (Corolário 1.54). A “casinha” verde mostra que a figura inteira se deforma, e não só os vetores da base.
Em movimento: Linear transformations and matrices — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\cardtitulo{Uma transformação linear do plano deforma a malha}
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\cardrequer{ex-multiplicacao-por-uma-matriz}
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\cardveja{prop-exist, cor-matriz}
\begin{cartao}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
\foreach \xx in {0,1,2}{\draw[Fcinza!55,line width=0.4pt] (\xx,0)--(\xx,2.3);}
\foreach \yy in {0,1,2}{\draw[Fcinza!55,line width=0.4pt] (0,\yy)--(2.3,\yy);}
\draw[eixo] (-0.3,0)--(2.8,0);
\draw[eixo] (0,-0.3)--(0,2.8);
\fill[Fverde!25] (0.4,0.4)--(1.4,0.4)--(1.4,1.2)--(0.9,1.7)--(0.4,1.2)--cycle;
\draw[Fverde,line width=0.8pt] (0.4,0.4)--(1.4,0.4)--(1.4,1.2)--(0.9,1.7)--(0.4,1.2)--cycle;
\draw[vet,Fazul] (0,0)--(1,0);
\draw[vet,Flaranja] (0,0)--(0,1);
\node[cxs,Fazul,anchor=north] at (0.55,-0.05) {$e_1$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=east] at (-0.05,0.55) {$e_2$};
\fill[Frosa] (1,2) circle (2pt);
\node[cxs,Frosa,anchor=south west] at (1,2) {$v = e_1+2e_2$};
\node[cx] at (1.2,-0.9) {$V = \R^2$};
\end{scope}
\draw[fseta] (3.4,1.2)--(4.8,1.2) node[midway,above,cxs] {$T$};
\begin{scope}[shift={(5.6,0)}]
\begin{scope}[cm={1.2,0.3,0.5,1,(0,0)}]
\foreach \xx in {0,1,2}{\draw[Fcinza!55,line width=0.4pt] (\xx,0)--(\xx,2.3);}
\foreach \yy in {0,1,2}{\draw[Fcinza!55,line width=0.4pt] (0,\yy)--(2.3,\yy);}
\fill[Fverde!25] (0.4,0.4)--(1.4,0.4)--(1.4,1.2)--(0.9,1.7)--(0.4,1.2)--cycle;
\draw[Fverde,line width=0.8pt] (0.4,0.4)--(1.4,0.4)--(1.4,1.2)--(0.9,1.7)--(0.4,1.2)--cycle;
\end{scope}
\draw[eixo] (-0.3,0)--(4.2,0);
\draw[eixo] (0,-0.3)--(0,3.1);
\draw[vet,Fazul] (0,0)--(1.2,0.3);
\draw[vet,Flaranja] (0,0)--(0.5,1);
\node[cxs,Fazul,anchor=north west] at (0.7,0.1) {$T(e_1)$};
\node[cxs,Flaranja,anchor=east] at (0.2,0.9) {$T(e_2)$};
\fill[Frosa] (2.2,2.3) circle (2pt);
\node[cxs,Frosa,anchor=west,fill=white,inner sep=1pt] at (2.35,2.3) {$T(v) = T(e_1)+2T(e_2)$};
\node[cx] at (1.8,-0.9) {$W = \R^2$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent Uma transformação linear do plano leva a malha quadriculada numa
malha de paralelogramos, e retas em retas. A malha da direita fica inteira determinada
pelas duas flechas $T(e_1)$ e $T(e_2)$: o ponto que tinha coordenadas $(1,2)$ na malha da
esquerda vai no ponto de coordenadas $(1,2)$ na malha da direita. É a
\vejacard{prop-exist} em uma figura: as duas flechas da direita são as colunas da matriz
(\vejacard{cor-matriz}). A ``casinha'' verde mostra que a figura inteira se deforma, e
não só os vetores da base.
\end{cartao}