Toda transformação linear \(\R^n\to\R^m\) é multiplicação por uma matriz
Toda transformação linear \(T:\R^n\to\R^m\) é \(T = T_A\) para uma única matriz \(A\in\Mat{m}{n}\): a matriz cuja \(j\)-ésima coluna é \(T(e_j)\).
É o caso \(V=\R^n\), \(W=\R^m\) da matriz de uma transformação linear em bases quaisquer (Definição 3.2).
Demonstração
\(T_A(e_j) = Ae_j\) é a \(j\)-ésima coluna de \(A\). Se escolhemos essa coluna igual a \(T(e_j)\), então \(T_A\) e \(T\) coincidem nos \(e_j\), e a Proposição 1.52 dá \(T = T_A\).
Em movimento: Linear transformations and matrices · Three-dimensional linear transformations — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\cardtitulo{Toda transformação linear $\R^n\to\R^m$ é multiplicação por uma matriz}
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\cardrequer{ex-multiplicacao-por-uma-matriz}
\cardrequerdem{prop-linear-determinada-nos-geradores}
\cardveja{def-matriz, nota-malha}
\begin{cartao}
Toda transformação linear $T:\R^n\to\R^m$ é
$T = T_A$ para uma única matriz $A\in\Mat{m}{n}$: a matriz cuja $j$-ésima coluna
é $T(e_j)$.
\noindent É o caso $V=\R^n$, $W=\R^m$ da matriz de uma transformação linear em bases
quaisquer (\vejacard{def-matriz}).
\begin{demonstracao}
$T_A(e_j) = Ae_j$ é a $j$-ésima coluna de $A$. Se escolhemos essa coluna igual a $T(e_j)$,
então $T_A$ e $T$ coincidem nos $e_j$, e a \vejacard{prop-linear-determinada-nos-geradores} dá $T = T_A$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}