\(AX=b\) tem solução quando \(b\) está na imagem de \(T_A\)

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\cardid{prop-compat}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{$AX=b$ tem solução quando $b$ está na imagem de $T_A$}
\cardtags{}
\cardautor{}

\cardrequer{def-sist, def-nucimg, def-ger}
\cardrequerdem{nota-duas}
\cardveja{thm-criterio, nota-sistemas}

\begin{cartao}

\emph{O sistema $AX=b$ tem solução se e somente se
$b\in\Ima(T_A) = [\,C_1,\ldots,C_n\,]$. Em particular, $AX=b$ tem solução para todo
$b\in\R^m$ se e somente se as colunas de $A$ geram $\R^m$.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
 \draw[line width=0.9pt,rounded corners=8pt] (-0.3,-1.5) rectangle (4.3,1.6);
 \node[cx,anchor=north east] at (4.2,1.5) {$\R^m$};
 \fill[Fazul!14] (0.1,-0.85)--(2.6,-1.15)--(3.9,0.35)--(1.4,0.65)--cycle;
 \draw[Fazul,line width=0.8pt] (0.1,-0.85)--(2.6,-1.15)--(3.9,0.35)--(1.4,0.65)--cycle;
 \node[cxs,Fazul,anchor=west] at (0.55,0.15) {$\Ima(T_A)$};
 \fill[Fverde] (2.2,-0.28) circle (2.4pt);
 \node[cxs,Fverde,anchor=north] at (2.2,-0.42) {$b$};
 \node[cx,Fverde] at (2.0,-2.05) {compatível};
 \node[cxs,anchor=north] at (2.0,-2.45) {$\posto A = \posto[\,A\mid b\,]$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(6.6,0)}]
 \draw[line width=0.9pt,rounded corners=8pt] (-0.3,-1.5) rectangle (4.3,1.6);
 \node[cx,anchor=north east] at (4.2,1.5) {$\R^m$};
 \fill[Fazul!14] (0.1,-0.85)--(2.6,-1.15)--(3.9,0.35)--(1.4,0.65)--cycle;
 \draw[Fazul,line width=0.8pt] (0.1,-0.85)--(2.6,-1.15)--(3.9,0.35)--(1.4,0.65)--cycle;
 \node[cxs,Fazul,anchor=west] at (0.55,0.15) {$\Ima(T_A)$};
 \fill[Frosa] (2.6,1.15) circle (2.4pt);
 \node[cxs,Frosa,anchor=south] at (2.6,1.28) {$b$};
 \draw[Frosa,dashed,line width=0.6pt] (2.6,1.15)--(2.35,-0.15);
 \node[cx,Frosa] at (2.0,-2.05) {incompatível};
 \node[cxs,anchor=north] at (2.0,-2.45) {$\posto A < \posto[\,A\mid b\,]$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

{\footnotesize\itshape A pergunta da compatibilidade é uma pergunta de pertinência: $b$
está ou não no subespaço gerado pelas colunas? Acrescentar $b$ como uma coluna a mais faz o
posto subir exatamente no caso incompatível --- é isso que o
\vejacard{thm-criterio} transforma num teste prático.\par}

\begin{demonstracao}

É a \vejacard{nota-duas} relida: existir $X$ com $AX=b$ é existir uma combinação
linear das colunas igual a $b$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}