Isomorfos se e somente se têm a mesma dimensão
Dois espaços de dimensão finita são isomorfos se e somente se têm a mesma dimensão. Em particular, \(\dim V = n\) implica \(V\iso\R^n\).
Demonstração
Se \(\dim V = \dim W = n\), escolha bases e componha os isomorfismos da Proposição 2.67: \(V\xrightarrow{\varphi_B}\R^n\xrightarrow{\varphi_C^{-1}}W\). Reciprocamente, um isomorfismo \(T:V\to W\) leva base em base: se \((v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\), então \((T(v_1),\ldots,T(v_n))\) gera \(\Ima(T)=W\) e é LI, porque \(\sum b_jT(v_j)=0\) dá \(T(\sum b_jv_j)=0\) e, sendo \(T\) injetora, \(\sum b_jv_j = 0\).
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\begin{cartao}
Dois espaços de dimensão finita são isomorfos se e somente se têm a
mesma dimensão. Em particular, $\dim V = n$ implica $V\iso\R^n$.
\begin{demonstracao}
Se $\dim V = \dim W = n$, escolha bases e componha os isomorfismos da \vejacard{prop-iso}:
$V\xrightarrow{\varphi_B}\R^n\xrightarrow{\varphi_C^{-1}}W$. Reciprocamente, um
isomorfismo $T:V\to W$ leva base em base: se $(v_1,\ldots,v_n)$ é base de $V$, então
$(T(v_1),\ldots,T(v_n))$ gera $\Ima(T)=W$ e é LI, porque
$\sum b_jT(v_j)=0$ dá $T(\sum b_jv_j)=0$ e, sendo $T$ injetora, $\sum b_jv_j = 0$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}