Funções de um conjunto em \(\R\)
Seja \(X\) um conjunto qualquer, e seja \(\mathcal{F}(X,\R)\) o conjunto de todas as funções \(f:X\to\R\), com as operações ponto a ponto: \[(f+g)(x) = f(x)+g(x),\qquad (\lambda f)(x) = \lambda\,f(x),\qquad x\in X.\] Então \(\mathcal{F}(X,\R)\) é um espaço vetorial. O vetor nulo é a função identicamente nula, e \((-f)(x) = -f(x)\).
Demonstração
Cada axioma é uma igualdade entre funções, e duas funções são iguais quando assumem o mesmo valor em cada \(x\in X\). Avaliando em \(x\), cada axioma vira a propriedade correspondente dos números reais. Por exemplo, (D1): \[\big(\lambda(f+g)\big)(x) = \lambda\big(f(x)+g(x)\big) = \lambda f(x)+\lambda g(x) = (\lambda f+\lambda g)(x).\] Os outros sete são idênticos.
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\begin{cartao}
Seja $X$ um conjunto
qualquer, e seja $\mathcal{F}(X,\R)$ o conjunto de todas as funções $f:X\to\R$, com as operações
ponto a ponto:
\[(f+g)(x) = f(x)+g(x),\qquad (\lambda f)(x) = \lambda\,f(x),\qquad x\in X.\]
Então $\mathcal{F}(X,\R)$ é um espaço vetorial. O vetor nulo é a função identicamente nula, e
$(-f)(x) = -f(x)$.
\begin{demonstracao}
Cada axioma é uma igualdade entre funções, e duas funções são iguais quando assumem o mesmo
valor em cada $x\in X$. Avaliando em $x$, cada axioma vira a propriedade correspondente dos
números reais. Por exemplo, (D1):
\[\big(\lambda(f+g)\big)(x) = \lambda\big(f(x)+g(x)\big) = \lambda f(x)+\lambda g(x)
= (\lambda f+\lambda g)(x).\]
Os outros sete são idênticos.
\end{demonstracao}
\end{cartao}