Transformação linear com valores dados em \(e_1,\ldots,e_n\)
Dados \(w_1,\ldots,w_n\in W\) quaisquer, existe uma única transformação linear \(T:\R^n\to W\) com \(T(e_i) = w_i\) para todo \(i\), a saber \[T(x_1,\ldots,x_n) = x_1w_1+\cdots+x_nw_n.\]
A proposição vale com qualquer base no lugar de \(e_1,\ldots,e_n\); para isso é preciso saber o que é base (Definição 2.64).
Demonstração
A fórmula é linear: \(T(x+\lambda y) = \sum_i(x_i+\lambda y_i)w_i = T(x)+\lambda T(y)\). E \(T(e_i) = w_i\). A unicidade é a Proposição 1.52, porque \(e_1,\ldots,e_n\) geram \(\R^n\).
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\cardtitulo{Transformação linear com valores dados em $e_1,\ldots,e_n$}
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\cardrequer{def-tl, ex-basicos-a}
\cardrequerdem{prop-linear-determinada-nos-geradores}
\cardveja{def-base}
\begin{cartao}
\emph{Dados $w_1,\ldots,w_n\in W$ quaisquer, existe uma
única transformação linear $T:\R^n\to W$ com $T(e_i) = w_i$ para todo $i$, a saber}
\[T(x_1,\ldots,x_n) = x_1w_1+\cdots+x_nw_n.\]
\noindent A proposição vale com qualquer base no lugar de $e_1,\ldots,e_n$; para isso é
preciso saber o que é base (\vejacard{def-base}).
\begin{demonstracao}
A fórmula é linear: $T(x+\lambda y) = \sum_i(x_i+\lambda y_i)w_i = T(x)+\lambda T(y)$. E
$T(e_i) = w_i$. A unicidade é a \vejacard{prop-linear-determinada-nos-geradores}, porque $e_1,\ldots,e_n$ geram
$\R^n$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}