Propriedades básicas das transformações lineares

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\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Propriedades básicas das transformações lineares}
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\cardrequer{def-tl, def-comb}
\cardrequerdem{prop-zeros, lem-cancel}
\cardveja{}

\begin{cartao}

\emph{Seja $T:V\to W$ linear. Então:}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{$T(0) = 0$ e $T(-v) = -T(v)$;}
\item \emph{$T(a_1v_1+\cdots+a_kv_k) = a_1T(v_1)+\cdots+a_kT(v_k)$ para quaisquer $v_i\in V$
e $a_i\in\R$;}
\item \emph{reciprocamente, uma função $T:V\to W$ com $T(u+\lambda v) = T(u)+\lambda T(v)$
para todos $u,v,\lambda$ é linear.}
\end{enumerate}

\noindent O item (a) dá um teste rápido de não-linearidade: se $T(0)\neq0$, $T$ não é
linear. O item (c) é o modo econômico de verificar linearidade: uma conta só, em vez de
duas.

\begin{demonstracao}

(a) $T(0) = T(0\cdot0) = 0\cdot T(0) = 0$, pela \vejacard{prop-zeros},
aplicada duas vezes (em $V$ e em $W$). E $T(-v) = T((-1)v) = (-1)T(v) = -T(v)$.

(b) Indução em $k$. Para $k=1$ é a segunda condição da definição. Supondo válido para
$k-1$,
\[T\Big(\sum_{i=1}^{k}a_iv_i\Big) = T\Big(\sum_{i=1}^{k-1}a_iv_i\Big)+T(a_kv_k)
= \sum_{i=1}^{k-1}a_iT(v_i)+a_kT(v_k).\]

(c) Com $\lambda = 1$ obtemos a aditividade. Com $u = 0$ obtemos
$T(\lambda v) = T(0)+\lambda T(v)$; e $T(0) = 0$ porque, com $u = v = 0$ e $\lambda = 1$,
$T(0) = T(0)+T(0)$, e cancela-se.

\end{demonstracao}

\end{cartao}