Em dimensões iguais, injetora equivale a sobrejetora
Sejam \(V\) e \(W\) de dimensão finita com \(\dim V = \dim W\), e \(T:V\to W\) linear. São equivalentes: (a) \(T\) é injetora; (b) \(T\) é sobrejetora; (c) \(T\) é bijetora.
A hipótese \(\dim V = \dim W<\infty\) é essencial. O contra-exemplo é o Exemplo 1.65: injetor e não sobrejetor. Em dimensão finita isso é impossível — e é o que torna a álgebra linear em dimensão finita tão mais simples.
Demonstração
Pelo teorema, \(\dim\Ima(T) = \dim V-\dim \Nuc(T)\). Então \[T\ \text{injetora}\iff \Nuc(T)=\{0\}\iff\dim\Ima(T) = \dim V = \dim W\] \[\iff \Ima(T) = W\iff T\ \text{sobrejetora},\] onde a penúltima equivalência é o Corolário 2.82 aplicado ao subespaço \(\Ima(T)\subset W\). A equivalência com (c) é imediata.
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\begin{cartao}
Sejam $V$ e $W$ de dimensão finita com $\dim V = \dim W$, e
$T:V\to W$ linear. São equivalentes: (a) $T$ é injetora; (b) $T$ é sobrejetora; (c) $T$ é
bijetora.
\noindent A hipótese $\dim V = \dim W<\infty$ é essencial. O contra-exemplo é o
\vejacard{ex-deslocamentos-nas-sequencias}: injetor e não sobrejetor. Em dimensão finita
isso é impossível --- e é o que torna a álgebra linear em dimensão finita tão mais simples.
\begin{demonstracao}
Pelo teorema, $\dim\Ima(T) = \dim V-\dim \Nuc(T)$. Então
\[T\ \text{injetora}\iff \Nuc(T)=\{0\}\iff\dim\Ima(T) = \dim V = \dim W\]
\[\iff \Ima(T) = W\iff T\ \text{sobrejetora},\]
onde a penúltima equivalência é o \vejacard{cor-sub} aplicado ao subespaço
$\Ima(T)\subset W$. A equivalência com (c) é imediata.
\end{demonstracao}
\end{cartao}