Matriz de uma transformação linear
Sejam \(T:V\to W\) linear, \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) base de \(V\) e \(C = (w_1,\ldots,w_m)\) base de \(W\). A matriz de \(T\) nas bases \(B\) e \(C\) é a matriz \([T]_{CB}\in\Mat{m}{n}\) cuja \(j\)-ésima coluna é \([T(v_j)]_C\). Em fórmula: os números \(a_{ij}\) definidos por \[T(v_j) = a_{1j}w_1+a_{2j}w_2+\cdots+a_{mj}w_m\qquad (j=1,\ldots,n)\] são as entradas de \([T]_{CB} = (a_{ij})\).
O quadrado que define a matriz de \(T\). As duas setas verticais são as bases (Proposição 2.67); a de cima é a transformação que interessa; a de baixo é uma matriz. Dizer “a matriz de \(T\)” é dizer que existe uma única seta de baixo que faz o quadrado comutar.
Duas armadilhas de notação. (i) A base do contradomínio vem primeiro no símbolo \([T]_{CB}\), na mesma ordem em que aparece na fórmula \([T(v)]_C = [T]_{CB}[v]_B\) (Proposição 3.3) — o \(B\) fica encostado no \([v]_B\). (ii) Os índices de \(a_{ij}\) estão “trocados” em relação à expressão de \(T(v_j)\), e isso é proposital, para que a fórmula do produto de matrizes saia certa.
Em movimento: Nonsquare matrices as transformations between dimensions — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
LaTeX deste card
O texto-fonte do card, para propor uma correção ou escrever um card no mesmo formato.
\cardid{def-matriz}
\cardtipo{definicao}
\cardtitulo{Matriz de uma transformação linear}
\cardtags{}
\cardautor{}
\cardrequer{def-coord, def-tl}
\cardrequerdem{}
\cardveja{mot-matriz-de-uma-transformacao, cor-matriz, prop-acao}
\begin{cartao}
Sejam $T:V\to W$ linear, $B = (v_1,\ldots,v_n)$ base de
$V$ e $C = (w_1,\ldots,w_m)$ base de $W$. A \textbf{matriz de $T$ nas bases $B$ e $C$} é a
matriz $[T]_{CB}\in\Mat{m}{n}$ cuja \emph{$j$-ésima coluna} é $[T(v_j)]_C$. Em
fórmula: os números $a_{ij}$ definidos por
\[T(v_j) = a_{1j}w_1+a_{2j}w_2+\cdots+a_{mj}w_m\qquad (j=1,\ldots,n)\]
são as entradas de $[T]_{CB} = (a_{ij})$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[cx] (V) at (0,2.1) {$V$};
\node[cx] (W) at (4.2,2.1) {$W$};
\node[cx] (Rn) at (0,0) {$\R^n$};
\node[cx] (Rm) at (4.2,0) {$\R^m$};
\draw[fseta] (V)--(W) node[midway,above,cxs] {$T$};
\draw[fseta,Fazul] (V)--(Rn) node[midway,left,cxs] {$\varphi_B$};
\draw[fseta,Fazul] (W)--(Rm) node[midway,right,cxs] {$\varphi_C$};
\draw[fseta,Frosa] (Rn)--(Rm) node[midway,below,cxs] {$X\mapsto [T]_{CB}\,X$};
\node[cxs,Fcinza] at (2.1,1.05) {comuta};
\node[cxs,anchor=west,align=left] at (5.6,1.05)
{$\varphi_C\circ T \;=\; M_{[T]_{CB}}\circ\varphi_B$,\\[0.3em]
isto é, $[T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B$.};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O quadrado que define a matriz de $T$. As duas setas verticais são as
bases (\vejacard{prop-iso}); a de cima é a transformação que interessa; a de baixo é uma matriz. Dizer
``a matriz de $T$'' é dizer que existe uma única seta de baixo que faz o quadrado comutar.\par}
\noindent Duas armadilhas de notação. \emph{(i)} A base do \emph{contradomínio} vem
primeiro no símbolo $[T]_{CB}$, na mesma ordem em que aparece na fórmula
$[T(v)]_C = [T]_{CB}[v]_B$ (\vejacard{prop-acao}) --- o $B$ fica encostado no $[v]_B$.
\emph{(ii)} Os índices de
$a_{ij}$ estão ``trocados'' em relação à expressão de $T(v_j)$, e isso é proposital, para
que a fórmula do produto de matrizes saia certa.
\end{cartao}