O conjunto solução é \(X_0+N(A)\)
Suponha que \(AX=b\) tenha alguma solução \(X_0\). Então o conjunto de todas as soluções é \[\{X\in\R^n : AX = b\} \;=\; X_0+N(A) \;=\; \{X_0+Y \,:\, AY = 0\}.\]
Demonstração
(\(\supseteq\)) Se \(AY=0\), então \(A(X_0+Y) = AX_0+AY = b+0 = b\).
(\(\subseteq\)) Se \(AX = b\), ponha \(Y = X-X_0\). Então \(AY = AX-AX_0 = b-b = 0\), isto é, \(Y\in N(A)\), e \(X = X_0+Y\).
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\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{O conjunto solução é $X_0+N(A)$}
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\cardrequer{def-sist, def-nucimg}
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\cardveja{prop-fibras, nota-sistemas}
\begin{cartao}
\emph{Suponha que $AX=b$ tenha \emph{alguma} solução $X_0$.
Então o conjunto de todas as soluções é}
\[\{X\in\R^n : AX = b\} \;=\; X_0+N(A) \;=\; \{X_0+Y \,:\, AY = 0\}.\]
\begin{demonstracao}
($\supseteq$) Se $AY=0$, então $A(X_0+Y) = AX_0+AY = b+0 = b$.
($\subseteq$) Se $AX = b$, ponha $Y = X-X_0$. Então $AY = AX-AX_0 = b-b = 0$, isto é,
$Y\in N(A)$, e $X = X_0+Y$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}