Reais positivos com produto e potência
Seja \(V = (0,\infty)\), os reais positivos, com \[x\oplus y = xy,\qquad \lambda\odot x = x^\lambda.\] Os axiomas são as regras de potência: (D1) é \((xy)^\lambda = x^\lambda y^\lambda\), (D2) é \(x^{\lambda+\mu} = x^\lambda x^\mu\), (M1) é \((x^\mu)^\lambda = x^{\lambda\mu}\), (M2) é \(x^1 = x\). O vetor nulo é o número \(1\), porque \(x\oplus1 = x\); e o simétrico de \(x\) é \(1/x\). Aqui o logaritmo faz o papel do \(\varphi\) do Exemplo 1.27: \(\log(x\oplus y) = \log x+\log y\) e \(\log(\lambda\odot x) = \lambda\log x\).
Os reais positivos com o produto, e o logaritmo que os transforma em \(\R\) com a soma. O vetor nulo de cima é o \(1\), que vai no \(0\) de baixo. O número \(0\) não está no espaço de cima, e nenhum vetor dele “falta”: todo real é o logaritmo de algum positivo.
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\cardtitulo{Reais positivos com produto e potência}
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\cardautor{}
\cardrequer{def-espaco-vetorial}
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\cardveja{ex-desloc, ex-iso-c}
\begin{cartao}
Seja
$V = (0,\infty)$, os reais positivos, com
\[x\oplus y = xy,\qquad \lambda\odot x = x^\lambda.\]
Os axiomas são as regras de potência: (D1) é $(xy)^\lambda = x^\lambda y^\lambda$, (D2) é
$x^{\lambda+\mu} = x^\lambda x^\mu$, (M1) é $(x^\mu)^\lambda = x^{\lambda\mu}$, (M2) é
$x^1 = x$. O vetor nulo é o número $1$, porque $x\oplus1 = x$; e o simétrico de $x$ é
$1/x$. Aqui o logaritmo faz o papel do $\varphi$ do \vejacard{ex-desloc}:
$\log(x\oplus y) = \log x+\log y$ e $\log(\lambda\odot x) = \lambda\log x$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\draw[line width=0.8pt] (0,1.6)--(9.2,1.6);
\draw[Frosa,line width=0.8pt,fill=white] (0,1.6) circle (0.07);
\node[cxs,Frosa,anchor=east] at (-0.12,1.6) {$0\notin V$};
\foreach \vv/\ll in {0.25/{\tfrac14},0.5/{\tfrac12},1/1,2/2,4/4,8/8}{
\draw[line width=0.8pt] ({\vv*1.1},1.52)--({\vv*1.1},1.68);
\node[cxs,anchor=south] at ({\vv*1.1},1.72) {$\ll$};}
\node[cxs,anchor=west,align=left] at (9.4,1.6) {$(0,\infty)$\\ $\oplus = $ produto};
\draw[line width=0.8pt] (0,-0.2)--(9.2,-0.2);
\foreach \kk in {-2,-1,0,1,2,3}{
\draw[line width=0.8pt] ({(\kk+2)*1.6+0.6},-0.28)--({(\kk+2)*1.6+0.6},-0.12);
\node[cxs,anchor=north] at ({(\kk+2)*1.6+0.6},-0.32) {$\kk$};}
\node[cxs,anchor=west,align=left] at (9.4,-0.2) {$\R$\\ $+ = $ soma};
\foreach \vv/\kk in {0.25/-2,0.5/-1,1/0,2/1,4/2,8/3}{
\draw[-{Stealth[length=1.8mm]},Fcinza,line width=0.5pt]
({\vv*1.1},1.45)--({(\kk+2)*1.6+0.6},-0.05);}
\draw[Fverde,line width=1.3pt] (2.2,1.6) circle (0.13);
\draw[Fverde,line width=1.3pt] (4.4,1.6) circle (0.13);
\draw[Fverde,line width=1.3pt] (8.8,1.6) circle (0.13);
\node[cxs,Fverde,anchor=south] at (6.2,2.05) {$2\oplus4 = 8$};
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (6.2,-0.72) {$1+2 = 3$};
\node[cxs,Fcinza,anchor=west] at (-1.4,0.7) {$\log_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape Os reais positivos com o produto, e o logaritmo que os transforma em
$\R$ com a soma. O vetor nulo de cima é o $1$, que vai no $0$ de baixo. O número $0$ não
está no espaço de cima, e nenhum vetor dele ``falta'': todo real é o logaritmo de algum
positivo.\par}
\end{cartao}