Espaços vetoriais: definição e exemplos

\(\R^n\), com soma e produto por escalar coordenada a coordenada, é um espaço vetorial. O vetor nulo é \((0,\ldots,0)\) e \(-(x_1,\ldots,x_n) = (-x_1,\ldots,-x_n)\). A verificação dos axiomas se reduz, coordenada a coordenada, a propriedades dos números reais.

\(\Mat{m}{n}\), as matrizes \(m\times n\), com soma e produto por escalar entrada a entrada, formam um espaço vetorial. A verificação dos axiomas se reduz, entrada a entrada, a propriedades dos números reais.

\(\Pol{n}\), os polinômios de grau no máximo \(n\) (incluindo o polinômio nulo), e \(\Poli\), todos os polinômios, com a soma e o produto por escalar usuais, são espaços vetoriais.

\(\R\) ele mesmo, com a soma e o produto usuais, é um espaço vetorial: é o caso \(n=1\) do Exemplo 1.13.

\(\{0\}\), com \(0+0 = 0\) e \(\lambda0 = 0\), é um espaço vetorial: o espaço nulo.

Seja \(X\) um conjunto qualquer, e seja \(\mathcal{F}(X,\R)\) o conjunto de todas as funções \(f:X\to\R\), com as operações ponto a ponto: \[(f+g)(x) = f(x)+g(x),\qquad (\lambda f)(x) = \lambda\,f(x),\qquad x\in X.\] Então \(\mathcal{F}(X,\R)\) é um espaço vetorial. O vetor nulo é a função identicamente nula, e \((-f)(x) = -f(x)\).

\(C^k(I)\), as funções \(I\to\R\) com \(k\) derivadas contínuas num intervalo \(I\), é um espaço vetorial: é um subconjunto de \(\mathcal{F}(I,\R)\) (Exemplo 1.19), com as mesmas operações. \(C^0(I)\) são as contínuas e \(C^\infty(I)\) as que têm derivadas de todas as ordens.

Os polinômios \(\Poli\), vistos como funções \(\R\to\R\), formam um subconjunto de \(\mathcal{F}(\R,\R)\) (Exemplo 1.19) que é um espaço vetorial com as mesmas operações.

O conjunto das soluções de \(y''+y = 0\) em \(\mathcal{F}(\R,\R)\) (entre as funções duas vezes deriváveis) é um espaço vetorial, com as mesmas operações de \(\mathcal{F}(\R,\R)\) (Exemplo 1.19).

As sequências convergentes, e as sequências que satisfazem \(x_{k+2} = x_{k+1}+x_k\) (as “de Fibonacci”, com quaisquer dois termos iniciais), formam espaços vetoriais: cada um desses conjuntos é um subconjunto de \(\mathcal{F}(\N,\R)\) (Exemplo 1.19), com as mesmas operações.

Um espaço vetorial é um conjunto com duas operações. O mesmo conjunto pode ter operações diferentes, e com umas ser espaço vetorial e com outras não. Em \(V = \R^2\):

1. \((x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2) = (x_1,y_1)\) e \(\alpha\odot(x,y) = (\alpha x,\alpha y)\). Falha (A2): \((1,0)\oplus(0,0) = (1,0)\), mas \((0,0)\oplus(1,0) = (0,0)\). O axioma (A3) vale, e vale para qualquer escolha de \(z\) como vetor nulo, porque \(v\oplus z = v\) sempre. O que falha é (A4): fixado o vetor nulo \(z\), a equação \(v\oplus w = z\) diz \(v = z\), e não tem solução \(w\) quando \(v\neq z\). Falha também (D2): \((1+1)\odot(1,0) = (2,0)\), enquanto \(1\odot(1,0)\oplus1\odot(1,0) = (1,0)\). Os demais valem.

2. \((x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\,y_1+y_2)\) e \(\alpha\odot(x,y) = (x,\alpha y)\). A soma é a usual, logo (A1)–(A4) valem. (M1), (M2) e (D1) valem. Falha (D2): \[(1+1)\odot(1,0) = (1,0),\qquad\text{mas}\qquad 1\odot(1,0)\oplus1\odot(1,0) = (2,0).\]

Em \(V=\R^2\), ponha \[(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2) = (x_1+x_2-1,\ y_1+y_2+2),\qquad \alpha\odot(x,y) = (\alpha x-\alpha+1,\ \alpha y+2\alpha-2).\] Isto é um espaço vetorial, e o vetor nulo é \((1,-2)\): de fato \((x,y)\oplus(1,-2) = (x+1-1,\ y-2+2) = (x,y)\). A explicação de todos os axiomas de uma vez é a mudança de coordenadas \[\varphi(x,y) = (x-1,\ y+2),\] que leva o ponto \((1,-2)\) na origem. Uma conta direta dá \[\varphi(u\oplus v) = \varphi(u)+\varphi(v),\qquad \varphi(\alpha\odot u) = \alpha\,\varphi(u),\] com as operações usuais do lado direito. Isto é: \(\oplus\) e \(\odot\) são a soma e o produto usuais, feitos a partir da origem \((1,-2)\) em vez de \((0,0)\). Como \(\varphi\) é bijetora, cada axioma para \((\oplus,\odot)\) é o mesmo axioma para \((+,\cdot)\), transportado por \(\varphi\).

A mesma geometria do plano, com a origem mudada de lugar. As flechas partem do vetor nulo \((1,-2)\), e \(u\oplus v\) é a ponta da diagonal do paralelogramo. As fórmulas assustam; a figura mostra que nada de novo aconteceu.

Seja \(V = (0,\infty)\), os reais positivos, com \[x\oplus y = xy,\qquad \lambda\odot x = x^\lambda.\] Os axiomas são as regras de potência: (D1) é \((xy)^\lambda = x^\lambda y^\lambda\), (D2) é \(x^{\lambda+\mu} = x^\lambda x^\mu\), (M1) é \((x^\mu)^\lambda = x^{\lambda\mu}\), (M2) é \(x^1 = x\). O vetor nulo é o número \(1\), porque \(x\oplus1 = x\); e o simétrico de \(x\) é \(1/x\). Aqui o logaritmo faz o papel do \(\varphi\) do Exemplo 1.27: \(\log(x\oplus y) = \log x+\log y\) e \(\log(\lambda\odot x) = \lambda\log x\).

Os reais positivos com o produto, e o logaritmo que os transforma em \(\R\) com a soma. O vetor nulo de cima é o \(1\), que vai no \(0\) de baixo. O número \(0\) não está no espaço de cima, e nenhum vetor dele “falta”: todo real é o logaritmo de algum positivo.

Em \(\R^3\), \((3,1,5)\) é combinação linear de \((1,0,1)\) e \((0,1,2)\): \[(3,1,5) = 3(1,0,1)+(0,1,2).\]

Em \(\mathcal{F}(\R,\R)\), \(\cos^2t\) é combinação linear de \(1\) e \(\cos2t\), porque \(\cos^2t = \tfrac12\cdot1+\tfrac12\cos2t\).

Em \(\mathcal{F}(\R,\R)\), \(\sen t\) não é combinação linear de \(1\) e \(\cos t\). Suponha que \(\sen t = a+b\cos t\) para todo \(t\). Avaliando em \(t=0\) e \(t=\pi\): \[0 = a+b,\qquad 0 = a-b,\] logo \(a=b=0\), e então \(\sen t = 0\) para todo \(t\), o que é falso em \(t = \pi/2\).