Espaço dual, base dual e transposta

Em \(\R^n\), \(\varphi(x_1,\ldots,x_n) = a_1x_1+\cdots+a_nx_n\) é um funcional linear. Pelo Corolário 1.54, todo funcional em \(\R^n\) é desta forma, com \((a_1\ \cdots\ a_n)\) a matriz \(1\times n\) de \(\varphi\): um vetor-linha.

São funcionais lineares em \(\Pol{n}\): a avaliação \(\varepsilon_a(p) = p(a)\); a integral \(p\mapsto\int_0^1p(t)\,dt\); o coeficiente de \(x^k\), \(p\mapsto p^{(k)}(0)/k!\).

São funcionais lineares em \(\Mat{n}{n}\): o traço; a entrada \((i,j)\), \(A\mapsto a_{ij}\).

Em \(C^0([0,1])\), é um funcional linear \(f\mapsto\int_0^1f(t)g(t)\,dt\), para \(g\) fixa.

Em \(\R^3\), seja \(B = \big((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\big)\). A matriz com essas colunas e sua inversa são as do Exemplo 3.17: \[P = \begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.\] Logo \[v_1^*(x,y,z) = \tfrac12(x+y-z),\qquad v_2^*(x,y,z) = \tfrac12(-x+y+z),\qquad v_3^*(x,y,z) = \tfrac12(x-y+z).\] Confira uma: \(v_1^*(0,1,1) = \tfrac12(0+1-1) = 0\). Para escrever \(\varphi(x,y,z) = x-2y+z\) na base \(B^*\), o Teorema 5.9(b) diz que os coeficientes são os valores de \(\varphi\) na base \(B\): \[\varphi(v_1) = -1,\quad \varphi(v_2) = -1,\quad \varphi(v_3) = 2,\qquad\text{logo}\qquad \varphi = -v_1^*-v_2^*+2v_3^*.\]

Verificação: \(-\tfrac12(x+y-z)-\tfrac12(-x+y+z)+(x-y+z) = x-2y+z\). O cálculo de \(B^*\) é o mesmo cálculo da mudança de base (Proposição 3.13): as coordenadas são a base dual, e a matriz \(P^{-1}\) é o conversor de coordenadas.

Seja \(\varphi(p) = \int_0^1p(t)\,dt\) em \(\Pol{2}\), com nós \(0,\tfrac12,1\). Pelo Teorema 5.9(b), \(\varphi = \sum_i\varphi(\ell_i)\,\varepsilon_i\). Com \(\ell_0 = 2(t-\tfrac12)(t-1)\), \(\ell_1 = -4t(t-1)\), \(\ell_2 = 2t(t-\tfrac12)\), as integrais valem \(\tfrac16,\tfrac23,\tfrac16\). Logo, para todo \(p\) de grau \(\leq2\), \[\int_0^1p(t)\,dt = \tfrac16\,p(0)+\tfrac46\,p(\tfrac12)+\tfrac16\,p(1).\] Não é uma aproximação: é uma igualdade em \(\Pol{2}^*\), que tem dimensão \(3\).

Teste em \(p = t^2\): \(\tfrac16\cdot0+\tfrac46\cdot\tfrac14+\tfrac16\cdot1 = \tfrac13\). A moral: um funcional em dimensão \(3\) fica determinado por \(3\) números; se três avaliações formam base, a integral é uma combinação delas.

A transposta em \(\R^n\), com vetores-linha. Seja \(T_A:\R^n\to\R^m\), \(X\mapsto AX\). Um funcional em \(\R^m\) é um vetor-linha \(y\) (\(1\times m\)), e \[T_A^*(y) = y\circ T_A:\ X\mapsto yAX.\] Isto é: \(T_A^*\) é “multiplicar o vetor-linha por \(A\) à direita”, \(y\mapsto yA\). Escrevendo os vetores-linha em pé, isso é \(y^t\mapsto A^ty^t\). Por exemplo, para \(A = \begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\end{pmatrix}\) e o funcional \(y = (1\ \ {-1})\) em \(\R^2\), que é \((u,v)\mapsto u-v\): \[T_A^*(y) = (1\ \ {-1})\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\end{pmatrix} = (1\ \ 1\ \ {-3}),\] isto é, \(T_A^*(y)(x_1,x_2,x_3) = x_1+x_2-3x_3\). Confira: \(T_A(x) = (x_1+2x_2,\ x_2+3x_3)\), e \(u-v = x_1+x_2-3x_3\).

Uma consequência: \(T_A^*(y) = 0\) significa \(yA = 0\), isto é, \(y\) anula todas as colunas de \(A\) — e as colunas geram \(\Ima(T_A)\). Ou seja, \(N(T^*)\) são os funcionais que se anulam na imagem de \(T\). É a fórmula \(N(T^*) = \Ima(T)^0\) do Teorema 5.33.