Uma base dual em \(\R^3\)
Em \(\R^3\), seja \(B = \big((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\big)\). A matriz com essas colunas e sua inversa são as do Exemplo 3.17: \[P = \begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.\] Logo \[v_1^*(x,y,z) = \tfrac12(x+y-z),\qquad v_2^*(x,y,z) = \tfrac12(-x+y+z),\qquad v_3^*(x,y,z) = \tfrac12(x-y+z).\] Confira uma: \(v_1^*(0,1,1) = \tfrac12(0+1-1) = 0\). Para escrever \(\varphi(x,y,z) = x-2y+z\) na base \(B^*\), o Teorema 5.9(b) diz que os coeficientes são os valores de \(\varphi\) na base \(B\): \[\varphi(v_1) = -1,\quad \varphi(v_2) = -1,\quad \varphi(v_3) = 2,\qquad\text{logo}\qquad \varphi = -v_1^*-v_2^*+2v_3^*.\]
Verificação: \(-\tfrac12(x+y-z)-\tfrac12(-x+y+z)+(x-y+z) = x-2y+z\). O cálculo de \(B^*\) é o mesmo cálculo da mudança de base (Proposição 3.13): as coordenadas são a base dual, e a matriz \(P^{-1}\) é o conversor de coordenadas.
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\cardtitulo{Uma base dual em $\R^3$}
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Em $\R^3$, seja
$B = \big((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\big)$. A matriz com essas colunas e sua inversa são as
do \vejacard{ex-p2}:
\[P = \begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.\]
Logo
\[v_1^*(x,y,z) = \tfrac12(x+y-z),\qquad v_2^*(x,y,z) = \tfrac12(-x+y+z),\qquad
v_3^*(x,y,z) = \tfrac12(x-y+z).\]
Confira uma: $v_1^*(0,1,1) = \tfrac12(0+1-1) = 0$. Para escrever
$\varphi(x,y,z) = x-2y+z$ na base $B^*$, o \vejacard{thm-basedual}(b) diz que os
coeficientes são os valores de $\varphi$ na base $B$:
\[\varphi(v_1) = -1,\quad \varphi(v_2) = -1,\quad \varphi(v_3) = 2,\qquad\text{logo}\qquad
\varphi = -v_1^*-v_2^*+2v_3^*.\]
\noindent Verificação: $-\tfrac12(x+y-z)-\tfrac12(-x+y+z)+(x-y+z) = x-2y+z$. O cálculo de $B^*$ é o
mesmo cálculo da mudança de base (\vejacard{prop-mudanca}): as coordenadas \emph{são} a base
dual, e a matriz $P^{-1}$ \emph{é} o conversor de coordenadas.
\end{cartao}