A matriz da composta é o produto das matrizes
Sejam \(T:V\to W\) e \(S:W\to U\) lineares, e \(B\), \(C\), \(D\) bases de \(V\), \(W\), \(U\). Então \[[\,S\circ T\,]_{DB} = [S]_{DC}\,[T]_{CB}.\]
Demonstração
Para todo \(v\in V\), aplicando duas vezes a Proposição 3.3, \[[(S\circ T)(v)]_D = [\,S(T(v))\,]_D = [S]_{DC}\,[T(v)]_C = [S]_{DC}[T]_{CB}\,[v]_B.\] Pela unicidade na Proposição 3.3, \([S\circ T]_{DB} = [S]_{DC}[T]_{CB}\).
Em movimento: Matrix multiplication as composition — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\cardtitulo{A matriz da composta é o produto das matrizes}
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\cardrequer{def-matriz, prop-comp}
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\begin{cartao}
\emph{Sejam $T:V\to W$ e $S:W\to U$ lineares, e $B$, $C$,
$D$ bases de $V$, $W$, $U$. Então}
\[[\,S\circ T\,]_{DB} = [S]_{DC}\,[T]_{CB}.\]
\begin{demonstracao}
Para todo $v\in V$, aplicando duas vezes a \vejacard{prop-acao},
\[[(S\circ T)(v)]_D = [\,S(T(v))\,]_D = [S]_{DC}\,[T(v)]_C = [S]_{DC}[T]_{CB}\,[v]_B.\]
Pela unicidade na \vejacard{prop-acao}, $[S\circ T]_{DB} = [S]_{DC}[T]_{CB}$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}