\(v_1^*\) depende de toda a base, e não só de \(v_1\)
\(v_1^*\) depende de toda a base, e não só de \(v_1\). Em \(\R^2\), com \(B = (e_1,e_2)\), temos \(e_1^*(x,y) = x\). Com \(B' = (e_1,\ e_1+e_2)\), o primeiro funcional dual \(\psi\) deve valer \(1\) em \(e_1\) e \(0\) em \(e_1+e_2\): \(\psi(x,y) = x-y\). O primeiro vetor é o mesmo nas duas bases; o primeiro funcional dual, não. Por isso a notação \(v_i^*\) é perigosa: ela sugere que existe “o dual de um vetor”, e não existe.
O primeiro vetor das duas bases é o mesmo, \(e_1\); os primeiros funcionais duais são diferentes. À esquerda as retas de nível são paralelas a \(e_2\); à direita, paralelas a \(e_1+e_2\). O funcional dual a \(e_1\) tem de se anular no resto da base, e o resto mudou.
A pergunta “quanto vale a primeira coordenada de \(v = (2,1)\)?” tem duas respostas diferentes, \(2\) e \(1\), e a figura mostra por quê. Não existe uma operação \(v\mapsto v^*\) sobre vetores: um isomorfismo \(V\to V^*\) exige uma escolha (Nota 5.20), e um produto interno é uma dessas escolhas (Teorema 6.34).
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\cardtitulo{$v_1^*$ depende de toda a base, e não só de $v_1$}
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\cardveja{nota-isomorfismo-com-o-dual-depende-de-base, thm-riesz}
\begin{cartao}
\emph{$v_1^*$ depende de toda a base, e não só de
$v_1$.} Em $\R^2$, com $B = (e_1,e_2)$, temos $e_1^*(x,y) = x$. Com
$B' = (e_1,\ e_1+e_2)$, o primeiro funcional dual $\psi$ deve valer $1$ em $e_1$ e $0$ em
$e_1+e_2$: $\psi(x,y) = x-y$. O primeiro vetor é o mesmo nas duas bases; o primeiro
funcional dual, não. Por isso a notação $v_i^*$ é perigosa: ela sugere que existe ``o
dual de um vetor'', e não existe.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
\begin{scope}
\clip (-1.2,-1.2) rectangle (3.2,2.4);
\foreach \cc in {-1,0,1,2,3}{\draw[Fazul!55,line width=0.7pt] (\cc,-2)--(\cc,3);}
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\draw[eixo] (-1.2,0)--(3.4,0);
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\draw[vet,black] (0,0)--(1,0);
\draw[vet,black] (0,0)--(0,1);
\node[cxs,anchor=north,fill=white,inner sep=1pt] at (0.55,-0.08) {$e_1$};
\node[cxs,anchor=east,fill=white,inner sep=1pt] at (-0.08,0.6) {$e_2$};
\fill[Frosa] (2,1) circle (2.4pt);
\node[cxs,Frosa,anchor=south west,fill=white,inner sep=1pt] at (2.05,1.05) {$v=(2,1)$};
\node[cx,align=center] at (1,-1.9) {$B = (e_1,e_2)$\\ $e_1^*(x,y) = x$,\ \ $e_1^*(v) = 2$};
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\foreach \cc in {-2,-1,0,1,2,3}{\draw[Flaranja!65,line width=0.7pt] ({\cc-3},-3)--({\cc+3},3);}
\end{scope}
\draw[eixo] (-1.2,0)--(3.4,0);
\draw[eixo] (0,-1.2)--(0,2.6);
\draw[vet,black] (0,0)--(1,0);
\draw[vet,black] (0,0)--(1,1);
\node[cxs,anchor=north,fill=white,inner sep=1pt] at (0.55,-0.08) {$e_1$};
\node[cxs,anchor=south east,fill=white,inner sep=1pt] at (0.9,1.0) {$e_1+e_2$};
\fill[Frosa] (2,1) circle (2.4pt);
\node[cxs,Frosa,anchor=north west,fill=white,inner sep=1pt] at (2.05,0.95) {$v=(2,1)$};
\node[cx,align=center] at (1,-1.9) {$B' = (e_1,\,e_1+e_2)$\\ $\psi(x,y) = x-y$,\ \ $\psi(v) = 1$};
\end{scope}
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\end{center}
{\footnotesize\itshape O primeiro vetor das duas bases é o mesmo, $e_1$; os primeiros
funcionais duais são diferentes. À esquerda as retas de nível são paralelas a $e_2$; à
direita, paralelas a $e_1+e_2$. O funcional dual a $e_1$ tem de se anular no \emph{resto} da
base, e o resto mudou.\par}
\noindent A pergunta ``quanto vale a primeira coordenada de $v = (2,1)$?'' tem duas respostas
diferentes, $2$ e $1$, e a figura mostra por quê. Não existe uma operação $v\mapsto v^*$ sobre
vetores: um isomorfismo $V\to V^*$ exige uma escolha
(\vejacard{nota-isomorfismo-com-o-dual-depende-de-base}), e um produto interno é uma dessas
escolhas (\vejacard{thm-riesz}).
\end{cartao}