A base dual dá as coordenadas

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\cardid{thm-basedual}
\cardtipo{teorema}
\cardtitulo{A base dual dá as coordenadas}
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\cardautor{}

\cardrequer{def-basedual, def-coord}
\cardrequerdem{prop-dimdual, cor-npontos, prop-linear-determinada-nos-geradores}
\cardveja{}

\begin{cartao}

\emph{Seja $B = (v_1,\ldots,v_n)$ base de $V$. Então:}
\begin{enumerate}[label=(\alph*),leftmargin=1.8em,itemsep=0.2em]
\item \emph{para todo $v\in V$, $\ v = \sum_{i=1}^nv_i^*(v)\,v_i$; isto é,
$[v]_B = \big(v_1^*(v),\ldots,v_n^*(v)\big)$;}
\item \emph{para todo $\varphi\in V^*$, $\ \varphi = \sum_{i=1}^n\varphi(v_i)\,v_i^*$;}
\item \emph{$B^*$ é base de $V^*$.}
\end{enumerate}

\noindent O item (a) em uma frase: \textbf{os elementos da base dual são as funções
coordenada}; $v_i^*$ é ``a $i$-ésima coordenada na base $B$''. Os itens (a) e (b) são
simétricos: em (a) as coordenadas de um vetor são os valores dos funcionais da base dual;
em (b) as coordenadas de um funcional são os seus valores nos vetores da base.

\begin{demonstracao}

(a) Escreva $v = \sum_ja_jv_j$. Aplicando $v_i^*$: $v_i^*(v) = \sum_ja_j\delta_{ij} = a_i$.

(b) Os dois lados são funcionais lineares, e coincidem em cada $v_j$:
$\sum_i\varphi(v_i)v_i^*(v_j) = \varphi(v_j)$. Dois lineares que coincidem numa base são
iguais.

(c) Por (b), $B^*$ gera $V^*$. São $n$ vetores num espaço de dimensão $n$
(\vejacard{prop-dimdual}), logo formam base (\vejacard{cor-npontos}). Diretamente: se
$\sum_ic_iv_i^* = 0$, aplicando a $v_j$ vem $c_j = 0$.

\end{demonstracao}

\end{cartao}