Teorema de Riesz: \(V\iso V^*\) pelo produto interno
Seja \(V\) de dimensão finita com produto interno. A aplicação \[G:V\to V^*,\qquad G(w) = \langle\cdot,w\rangle\] é um isomorfismo. Isto é: todo funcional \(\varphi\in V^*\) é da forma \(\varphi = \langle\cdot,w\rangle\) para um único \(w\in V\). Além disso, uma base \(B\) é ortonormal se e somente se \(G(B) = B^*\), e \(G(S^\perp) = S^0\) para todo subespaço \(S\).
O produto interno é uma maneira de escolher o isomorfismo \(V\to V^*\) que não existe de graça (Nota 5.20). Por ele, \(S^\perp\) corresponde a \(S^0\) e as bases ortonormais são as que coincidem com as suas duais.
O teorema responde à pergunta do Exemplo 6.23: \(S^\perp\) e \(S^0\) têm as mesmas fórmulas porque \(G(S^\perp) = S^0\), e \(G\) é isomorfismo. \(V\iso V^*\) exige uma escolha, e um produto interno é uma escolha (mais econômica do que uma base, porque muitas bases — todas as ortonormais — dão o mesmo isomorfismo). Apesar disso, o anulador é o objeto mais básico: ele não depende de produto interno nenhum.
Demonstração
\(G\) é linear (linearidade na segunda variável). Se \(G(w) = 0\), então \(\langle w,w\rangle = 0\) e \(w = 0\): \(G\) é injetora, e como \(\dim V^* = \dim V\), é isomorfismo. Para \(B = (u_1,\ldots,u_n)\): \(G(u_j)(u_i) = \langle u_i,u_j\rangle\), que é \(\delta_{ij}\) para todos \(i,j\) exatamente quando \(B\) é ortonormal; e \(\delta_{ij}\) é a relação que define \(u_j^*\). Finalmente, \(G(w)\in S^0\iff\langle s,w\rangle = 0\) para todo \(s\in S\iff w\in S^\perp\).
Em movimento: Dot products and duality — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\cardtitulo{Teorema de Riesz: $V\iso V^*$ pelo produto interno}
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\cardrequer{def-on, def-basedual, def-perp, def-anul, def-dim}
\cardrequerdem{prop-dimdual, cor-equiv}
\cardveja{nota-isomorfismo-com-o-dual-depende-de-base, ex-perp-a, mot-produto-interno}
\begin{cartao}
\emph{Seja
$V$ de dimensão finita com produto interno. A aplicação}
\[G:V\to V^*,\qquad G(w) = \langle\cdot,w\rangle\]
\emph{é um isomorfismo. Isto é: todo funcional $\varphi\in V^*$ é da forma
$\varphi = \langle\cdot,w\rangle$ para um único $w\in V$. Além disso, uma base $B$ é ortonormal
se e somente se $G(B) = B^*$, e $G(S^\perp) = S^0$ para todo subespaço $S$.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[cx] (V) at (0,0) {$V$};
\node[cx] (Vs) at (5.0,0) {$V^*$};
\draw[fseta,Fverde,line width=1.2pt] (V)--(Vs) node[midway,above,cxs] {$G(w) = \langle\cdot,w\rangle$};
\node[cxs,Fverde,anchor=north] at (2.5,-0.12) {\emph{escolha: o produto interno}};
\node[cx] (S) at (0,-1.5) {$S^\perp$};
\node[cx] (A) at (5.0,-1.5) {$S^0$};
\draw[fseta,Fcinza] (S)--(A);
\node[cx] (B) at (0,-2.6) {$B$ ortonormal};
\node[cx] (Bs) at (5.0,-2.6) {$B^*$};
\draw[fseta,Fcinza] (B)--(Bs);
\node[cx,anchor=west,align=left] at (6.3,-1.2)
{\emph{o complemento ortogonal é}\\ \emph{o anulador visto em $V$;}\\[0.2em]
\emph{a base dual de uma base}\\ \emph{ortonormal é ela mesma}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O produto interno é uma maneira de escolher o isomorfismo
$V\to V^*$ que não existe de graça (\vejacard{nota-isomorfismo-com-o-dual-depende-de-base}). Por ele, $S^\perp$ corresponde a $S^0$
e as bases ortonormais são as que coincidem com as suas duais.\par}
\noindent O teorema responde à pergunta do \vejacard{ex-perp-a}: $S^\perp$ e $S^0$ têm as
mesmas fórmulas porque $G(S^\perp) = S^0$, e $G$ é isomorfismo. $V\iso V^*$ exige uma
escolha, e um produto interno \emph{é} uma
escolha (mais econômica do que uma base, porque muitas bases --- todas as ortonormais --- dão o
mesmo isomorfismo). Apesar disso, o anulador é o objeto mais básico: ele
não depende de produto interno nenhum.
\begin{demonstracao}
$G$ é linear (linearidade na segunda variável). Se $G(w) = 0$, então $\langle w,w\rangle = 0$
e $w = 0$: $G$ é injetora, e como $\dim V^* = \dim V$, é isomorfismo. Para
$B = (u_1,\ldots,u_n)$: $G(u_j)(u_i) = \langle u_i,u_j\rangle$, que é $\delta_{ij}$ para todos
$i,j$ exatamente quando $B$ é ortonormal; e $\delta_{ij}$ é a relação que define $u_j^*$.
Finalmente, $G(w)\in S^0\iff\langle s,w\rangle = 0$ para todo $s\in S\iff w\in S^\perp$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}