\((AB)^t = B^tA^t\)
\((AB)^t = B^tA^t\) para matrizes compatíveis, e \((A^{-1})^t = (A^t)^{-1}\).
Demonstração
Sejam \(T = T_B\) e \(S = T_A\), com as bases canônicas. Pelo Teorema 5.17 e pela Proposição 5.16(b), \[(AB)^t = [(S\circ T)^*] = [T^*\circ S^*] = [T^*][S^*] = B^tA^t.\] A segunda é a Proposição 5.16(c) lida da mesma forma.
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\cardtitulo{$(AB)^t = B^tA^t$}
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\cardrequerdem{thm-matriz-da-transposta, prop-transp, thm-comp}
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\begin{cartao}
$(AB)^t = B^tA^t$ para matrizes compatíveis, e
$(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$.
\begin{demonstracao}
Sejam $T = T_B$ e $S = T_A$, com as bases canônicas. Pelo \vejacard{thm-matriz-da-transposta} e pela
\vejacard{prop-transp}(b),
\[(AB)^t = [(S\circ T)^*] = [T^*\circ S^*] = [T^*][S^*] = B^tA^t.\]
A segunda é a
\vejacard{prop-transp}(c) lida da mesma forma.
\end{demonstracao}
\end{cartao}