Vandermonde e interpolação
Vandermonde e interpolação. Sejam \(t_0,\ldots,t_n\in\R\) dois a dois distintos e \[V = \begin{pmatrix} 1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n\\ 1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n\end{pmatrix}.\] Vale \[\det V = \prod_{0\leq i<j\leq n}(t_j-t_i)\neq0.\]
Por que. Pense em \(\det V\) como polinômio na variável \(t_n\), com os demais fixos: ele tem grau \(\leq n\) e se anula em \(t_n = t_0,\ldots,t_{n-1}\) (duas linhas iguais), logo é múltiplo de \((t_n-t_0)\cdots(t_n-t_{n-1})\). Comparando o coeficiente de \(t_n^n\) (que é, por Laplace na última linha, o determinante de Vandermonde de ordem \(n\)) e iterando, sai a fórmula.
Para que serve. Considere \(T:\Pol{n}\to\R^{n+1}\), \(T(p) = (p(t_0),\ldots,p(t_n))\). Nas bases \((1,x,\ldots,x^n)\) e canônica, \([T] = V\). Como \(\det V\neq0\), \(T\) é isomorfismo: dados quaisquer valores \(y_0,\ldots,y_n\), existe um e um só polinômio de grau \(\leq n\) com \(p(t_i)=y_i\). É o teorema da interpolação, obtido de um determinante.
O determinante de Vandermonde não é uma curiosidade: ele é a afirmação de que a avaliação em \(n+1\) pontos distintos é um isomorfismo \(\Pol{n}\to\R^{n+1}\). Escolhidas as alturas nos pontos, o polinômio existe e é único — e a razão é que um determinante não se anula.
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\cardtitulo{Vandermonde e interpolação}
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\cardrequer{thm-laplace, thm-invertivel, cor-inv}
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\cardveja{ex-avaliacao}
\begin{cartao}
\emph{Vandermonde e interpolação.}
Sejam $t_0,\ldots,t_n\in\R$ dois a dois distintos e
\[V = \begin{pmatrix}
1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n\\
1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n\\
\vdots & & & & \vdots\\
1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n\end{pmatrix}.\]
Vale
\[\det V = \prod_{0\leq i<j\leq n}(t_j-t_i)\neq0.\]
\emph{Por que.} Pense em $\det V$ como polinômio na variável $t_n$, com os demais fixos: ele
tem grau $\leq n$ e se anula em $t_n = t_0,\ldots,t_{n-1}$ (duas linhas iguais), logo é
múltiplo de $(t_n-t_0)\cdots(t_n-t_{n-1})$. Comparando o coeficiente de $t_n^n$ (que é, por
Laplace na última linha, o determinante de Vandermonde de ordem $n$) e iterando, sai a
fórmula.
\emph{Para que serve.} Considere $T:\Pol{n}\to\R^{n+1}$, $T(p) = (p(t_0),\ldots,p(t_n))$.
Nas bases $(1,x,\ldots,x^n)$ e canônica, $[T] = V$. Como $\det V\neq0$, $T$ é
\emph{isomorfismo}: dados quaisquer valores $y_0,\ldots,y_n$, existe um e um só polinômio de
grau $\leq n$ com $p(t_i)=y_i$. É o teorema da interpolação, obtido de um determinante.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.95}]
\draw[eixo] (-0.4,0)--(5.6,0);
\draw[eixo] (0,-0.5)--(0,2.9);
\draw[domain=0.25:5.1,smooth,variable=\x,line width=1.1pt,Fazul]
plot ({\x},{0.55+1.9*sin(deg(0.62*\x-0.35))*exp(-0.03*\x)});
\foreach \x/\y in {0.6/1.03,1.9/2.31,3.3/1.94,4.7/0.55}{
\fill[Frosa] (\x,\y) circle (2.3pt);
\draw[tr] (\x,\y)--(\x,0);}
\node[cxs,anchor=north] at (0.6,-0.06) {$t_0$};
\node[cxs,anchor=north] at (1.9,-0.06) {$t_1$};
\node[cxs,anchor=north] at (3.3,-0.06) {$t_2$};
\node[cxs,anchor=north] at (4.7,-0.06) {$t_3$};
\node[cxs,Fazul,anchor=west] at (5.0,2.1) {$p$, grau $\leq 3$};
\node[cxs,anchor=west,align=left] at (6.4,1.4)
{$T(p) = \big(p(t_0),\ldots,p(t_n)\big)$\\[0.4em]
$\det V\neq0 \Rightarrow T$ isomorfismo\\[0.4em]
\emph{quatro alturas quaisquer,}\\ \emph{um único polinômio}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O determinante de Vandermonde não é uma curiosidade: ele é a
afirmação de que a avaliação em $n+1$ pontos distintos é um isomorfismo
$\Pol{n}\to\R^{n+1}$. Escolhidas as alturas nos pontos, o polinômio existe e é único ---
e a razão é que um determinante não se anula.\par}
\end{cartao}