A transposta em \(\R^n\), com vetores-linha

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\cardid{ex-linhas}
\cardtipo{exemplo}
\cardtitulo{A transposta em $\R^n$, com vetores-linha}
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\cardautor{}

\cardrequer{def-transp, ex-funcionais-em-rn}
\cardrequerdem{}
\cardveja{thm-quatro}

\begin{cartao}

\emph{A transposta em $\R^n$, com vetores-linha.} Seja
$T_A:\R^n\to\R^m$, $X\mapsto AX$. Um funcional em $\R^m$ é um vetor-linha $y$
($1\times m$), e
\[T_A^*(y) = y\circ T_A:\ X\mapsto yAX.\]
Isto é: $T_A^*$ é ``multiplicar o vetor-linha por $A$ à direita'', $y\mapsto yA$.
Escrevendo os vetores-linha em pé, isso é $y^t\mapsto A^ty^t$. Por exemplo, para
$A = \begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\end{pmatrix}$ e o funcional $y = (1\ \ {-1})$ em
$\R^2$, que é $(u,v)\mapsto u-v$:
\[T_A^*(y) = (1\ \ {-1})\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\end{pmatrix} = (1\ \ 1\ \ {-3}),\]
isto é, $T_A^*(y)(x_1,x_2,x_3) = x_1+x_2-3x_3$. Confira: $T_A(x) = (x_1+2x_2,\ x_2+3x_3)$,
e $u-v = x_1+x_2-3x_3$.

\noindent Uma consequência: $T_A^*(y) = 0$ significa $yA = 0$, isto é, $y$
anula todas as colunas de $A$ --- e as colunas geram $\Ima(T_A)$. Ou seja, $N(T^*)$ são os
funcionais que se anulam na imagem de $T$. É a fórmula $N(T^*) = \Ima(T)^0$ do
\vejacard{thm-quatro}.

\end{cartao}