Transposta de uma transformação linear
Seja \(T:V\to W\) linear. A transposta de \(T\) é \[T^*:W^*\to V^*,\qquad T^*(\varphi) = \varphi\circ T.\]
A transposta. Um funcional em \(W\) (azul), composto com \(T\), dá um funcional em \(V\) (verde). Assim \(T^*\) vai de \(W^*\) para \(V^*\): o sentido se inverte. Em termos de equações: uma equação \(\varphi = 0\) em \(W\) puxa para a equação \(\varphi(T(v)) = 0\) em \(V\).
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\begin{cartao}
Seja $T:V\to W$ linear. A \textbf{transposta} de $T$ é
\[T^*:W^*\to V^*,\qquad T^*(\varphi) = \varphi\circ T.\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
\node[cx] (V) at (0,1.6) {$V$};
\node[cx] (W) at (3.4,1.6) {$W$};
\node[cx] (R) at (1.7,0) {$\R$};
\draw[fseta] (V)--(W) node[midway,above,cxs] {$T$};
\draw[fseta,Fazul] (W)--(R) node[midway,right,cxs] {$\varphi$};
\draw[fseta,Fverde] (V)--(R);
\node[cxs,Fverde,anchor=east] at (0.6,0.55) {$T^*\varphi = \varphi\circ T$};
\node[cx] (Vs) at (7.0,0.8) {$V^*$};
\node[cx] (Ws) at (10.4,0.8) {$W^*$};
\draw[fseta,Frosa] (Ws)--(Vs) node[midway,above,cxs] {$T^*$};
\node[cxs,Fcinza] at (8.7,0.2) {sentido contrário};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape A transposta. Um funcional em $W$ (azul), composto com $T$, dá um
funcional em $V$ (verde). Assim $T^*$ vai de $W^*$ para $V^*$: o sentido se inverte. Em
termos de equações: uma equação $\varphi = 0$ em $W$ \emph{puxa} para a equação
$\varphi(T(v)) = 0$ em $V$.\par}
\end{cartao}