Regra de Simpson
Seja \(\varphi(p) = \int_0^1p(t)\,dt\) em \(\Pol{2}\), com nós \(0,\tfrac12,1\). Pelo Teorema 5.9(b), \(\varphi = \sum_i\varphi(\ell_i)\,\varepsilon_i\). Com \(\ell_0 = 2(t-\tfrac12)(t-1)\), \(\ell_1 = -4t(t-1)\), \(\ell_2 = 2t(t-\tfrac12)\), as integrais valem \(\tfrac16,\tfrac23,\tfrac16\). Logo, para todo \(p\) de grau \(\leq2\), \[\int_0^1p(t)\,dt = \tfrac16\,p(0)+\tfrac46\,p(\tfrac12)+\tfrac16\,p(1).\] Não é uma aproximação: é uma igualdade em \(\Pol{2}^*\), que tem dimensão \(3\).
Teste em \(p = t^2\): \(\tfrac16\cdot0+\tfrac46\cdot\tfrac14+\tfrac16\cdot1 = \tfrac13\). A moral: um funcional em dimensão \(3\) fica determinado por \(3\) números; se três avaliações formam base, a integral é uma combinação delas.
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\begin{cartao}
Seja
$\varphi(p) = \int_0^1p(t)\,dt$ em $\Pol{2}$, com nós $0,\tfrac12,1$. Pelo
\vejacard{thm-basedual}(b), $\varphi = \sum_i\varphi(\ell_i)\,\varepsilon_i$. Com
$\ell_0 = 2(t-\tfrac12)(t-1)$, $\ell_1 = -4t(t-1)$, $\ell_2 = 2t(t-\tfrac12)$, as
integrais valem $\tfrac16,\tfrac23,\tfrac16$. Logo, para todo $p$ de grau $\leq2$,
\[\int_0^1p(t)\,dt = \tfrac16\,p(0)+\tfrac46\,p(\tfrac12)+\tfrac16\,p(1).\]
Não é uma aproximação: é uma igualdade em $\Pol{2}^*$, que tem dimensão $3$.
\noindent Teste em $p = t^2$: $\tfrac16\cdot0+\tfrac46\cdot\tfrac14+\tfrac16\cdot1 =
\tfrac13$. A moral: \emph{um funcional em dimensão $3$ fica determinado por $3$
números}; se três avaliações formam base, a integral é uma combinação delas.
\end{cartao}