Polinômios de Lagrange: a base dual das avaliações

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\cardid{prop-lagrange}
\cardtipo{proposicao}
\cardtitulo{Polinômios de Lagrange: a base dual das avaliações}
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\cardrequer{def-basedual, ex-avaliacao}
\cardrequerdem{thm-basedual, cor-npontos}
\cardveja{ex-vander}

\begin{cartao}

Sejam $t_0,\ldots,t_n\in\R$ distintos e $\varepsilon_i(p) = p(t_i)$ em
$\Pol{n}$. O determinante de Vandermonde (\vejacard{ex-vander}) mostra que
$p\mapsto(p(t_0),\ldots,p(t_n))$ é um isomorfismo; aqui isso ganha uma leitura no dual.

\emph{Os polinômios de Lagrange}
\[\ell_j(t) = \prod_{k\neq j}\frac{t-t_k}{t_j-t_k},\qquad j = 0,\ldots,n,\]
\emph{formam uma base de $\Pol{n}$, e $(\varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_n)$ é a sua base
dual. Em particular, $(\varepsilon_0,\ldots,\varepsilon_n)$ é base de $\Pol{n}^*$, e todo
$p\in \Pol{n}$ se escreve}
\[p = \sum_{i=0}^np(t_i)\,\ell_i.\]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=5,yscale=2.0,every node/.style={scale=0.95}]
 \draw[eixo] (-0.12,0)--(1.15,0);
 \draw[eixo] (0,-0.45)--(0,1.35);
 \draw[Fazul,line width=1pt,domain=-0.08:1.08,samples=60,variable=\tt]
   plot ({\tt},{2*(\tt-0.5)*(\tt-1)});
 \draw[Flaranja,line width=1pt,domain=-0.08:1.08,samples=60,variable=\tt]
   plot ({\tt},{-4*\tt*(\tt-1)});
 \draw[Fverde,line width=1pt,domain=-0.08:1.08,samples=60,variable=\tt]
   plot ({\tt},{2*\tt*(\tt-0.5)});
 \foreach \xx in {0,0.5,1}{\draw[tr] (\xx,-0.4)--(\xx,1.25);}
 \node[cxs,anchor=north east] at (0,-0.02) {$t_0 = 0$};
 \node[cxs,anchor=north] at (0.5,-0.4) {$t_1 = \tfrac12$};
 \node[cxs,anchor=north] at (1,-0.4) {$t_2 = 1$};
 \node[cxs,Fazul,anchor=east] at (-0.02,1.0) {$\ell_0$};
 \node[cxs,Flaranja,anchor=south] at (0.5,1.02) {$\ell_1$};
 \node[cxs,Fverde,anchor=west] at (1.02,1.0) {$\ell_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

{\footnotesize\itshape Os três polinômios de Lagrange de $\Pol{2}$ para os nós
$0,\tfrac12,1$. Cada um vale $1$ no seu nó e $0$ nos outros dois: é a relação
$\varepsilon_i(\ell_j) = \delta_{ij}$ desenhada. Para reconstruir um $p$ de grau $\leq2$ a
partir de $p(0),p(\frac12),p(1)$, basta somar as três curvas com esses pesos.\par}

\begin{demonstracao}

Cada $\ell_j$ tem grau $n$, vale $1$ em $t_j$ e $0$ nos demais $t_k$: isto é,
$\varepsilon_i(\ell_j) = \delta_{ij}$. Os $\ell_j$ são LI: se $\sum_jc_j\ell_j = 0$,
avaliando em $t_i$ vem $c_i = 0$. São $n+1$ vetores LI em $\Pol{n}$, logo base; e as
relações $\varepsilon_i(\ell_j) = \delta_{ij}$ dizem que $(\varepsilon_i)$ é a base dual.
A fórmula final é o \vejacard{thm-basedual}(a).

\end{demonstracao}

\end{cartao}