Início · Capítulo 8 · Autovalores e diagonalização
\(T:V\to V\) é diagonalizável se existe uma base \(B\) de \(V\) com \([T]_B\) diagonal. Uma matriz \(A\) é diagonalizável se existem \(P\) invertível e \(D\) diagonal com \(A = PDP^{-1}\) (isto é, se \(T_A\) é diagonalizável; Corolário 3.16).
Em movimento: Eigenvectors and eigenvalues — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
Sejam \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) os autovalores distintos de \(T\), com \(\dim V = n\). São equivalentes:
\(T\) é diagonalizável;
\(V\) tem uma base formada por autovetores de \(T\);
\(V = V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}\);
\(\dim V_{\lambda_1}+\cdots+\dim V_{\lambda_k} = n\).
(a)\(\iff\)(b): \([T]_B = \mathrm{diag}(c_1,\ldots,c_n)\) significa \(T(v_j) = c_jv_j\) para cada \(j\) (Nota 3.18), isto é, cada \(v_j\) é autovetor.
(b)\(\Rightarrow\)(d): cada vetor da base está em algum \(V_{\lambda_i}\), e os que estão em \(V_{\lambda_i}\) são LI; logo \(\dim V_{\lambda_i}\geq\) número deles, e somando, \(\sum_i\dim V_{\lambda_i}\geq n\). A soma dos autoespaços é direta (Corolário 8.16), logo tem dimensão \(\sum_i\dim V_{\lambda_i}\leq n\).
(d)\(\Rightarrow\)(c): a soma é direta, e sua dimensão é \(n\); um subespaço de dimensão \(n\) é \(V\) (Corolário 2.82).
(c)\(\Rightarrow\)(b): junte bases dos \(V_{\lambda_i}\); numa soma direta, a junção de bases é base (Corolário 2.86).
Se \(T\) tem \(n\) autovalores distintos, \(T\) é diagonalizável. A recíproca é falsa.
Cada \(\dim V_{\lambda_i}\geq1\), e há \(n\) deles: a soma é \(\geq n\), logo \(= n\). Para a recíproca: a identidade é diagonal e tem um só autovalor.
Um operador diagonalizável estica (ou encolhe) cada eixo próprio por um fator, independentemente dos outros. O círculo vira uma elipse com os eixos nas direções dos autovetores. O desenho é o de \(B = \left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right)\) (fatores \(3\) e \(1\), Exemplo 8.12); \(A = B^2\) tem os mesmos eixos e fatores \(9\) e \(1\) (Exemplo 8.33).
É o que dá sentido à palavra “diagonal”: nas coordenadas dadas pelos dois eixos coloridos, \(A\) multiplica a primeira coordenada por \(9\) e a segunda por \(1\), sem misturar.
Seja \(\lambda_0\) autovalor de \(T\). A multiplicidade algébrica \(\mathrm{ma}(\lambda_0)\) é a multiplicidade de \(\lambda_0\) como raiz de \(p_T\); a multiplicidade geométrica \(\mathrm{mg}(\lambda_0)\) é \(\dim V_{\lambda_0}\).
\(1\leq\mathrm{mg} (\lambda_0)\leq\mathrm{ma}(\lambda_0)\).
Por que \(\mathrm{mg}\leq\mathrm{ma}\). Numa base que começa pelo autoespaço, o bloco verde contribui \((\lambda_0-\lambda)^g\) ao polinômio característico. O bloco azul pode contribuir mais fatores \((\lambda_0-\lambda)\) — no exemplo \(\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\), \(C = (1)\) contribui um.
\(\mathrm{mg}\geq1\) porque \(\lambda_0\) é autovalor. Seja \(g = \dim V_{\lambda_0}\) e complete uma base de \(V_{\lambda_0}\) a uma base \(B\) de \(V\). Como \(V_{\lambda_0}\) é invariante e \(T\) age nele como \(\lambda_0I\), a matriz é triangular por blocos (Proposição 5.56): \[[T]_B = \begin{pmatrix}\lambda_0I_g&\ast\\0&C\end{pmatrix},\qquad p_T(\lambda) = (\lambda_0-\lambda)^g\,p_C(\lambda),\] pelo determinante de matriz triangular por blocos (Proposição 4.28). Logo \((\lambda-\lambda_0)^g\) divide \(p_T\), e \(\mathrm{ma}\geq g\).
\(T\) é diagonalizável se e somente se \(p_T\) se fatora em fatores lineares reais e \(\mathrm{mg}(\lambda_i) = \mathrm{ma}(\lambda_i)\) para todo autovalor.
Se \(p_T = \pm\prod_i(\lambda-\lambda_i)^{m_i}\), então \(\sum_im_i = n\), e \(\sum_i\dim V_{\lambda_i}\leq\sum_im_i = n\) com igualdade se e somente se cada \(\dim V_{\lambda_i} = m_i\). Se \(p_T\) não se fatora sobre \(\R\), \(\sum_im_i<n\) e o Teorema 8.23(d) falha.
\(J = \left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\): \(p_J = (1-\lambda)^2\), \(\mathrm{ma}(1) = 2\), mas \(J-I = \left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right)\) tem núcleo \([e_1]\): \(\mathrm{mg}(1) = 1\). Não é diagonalizável. (Se fosse, seria \(P\,I\,P^{-1} = I\).)
\(A = \begin{pmatrix}4&0&1\\2&3&2\\1&0&4\end{pmatrix}\): desenvolvendo pela segunda coluna, \(p_A = (3-\lambda)\big((4-\lambda)^2-1\big) = (3-\lambda)^2(5-\lambda)\). Para \(\lambda = 3\), \(A-3I = \left(\begin{smallmatrix}1&0&1\\2&0&2\\1&0&1\end{smallmatrix}\right)\) tem posto \(1\), logo \(\mathrm{mg}(3) = 2 = \mathrm{ma}(3)\), com \(V_3 = [(0,1,0),(-1,0,1)]\); e \(V_5 = [(1,2,1)]\). Diagonalizável.
\(A' = \begin{pmatrix}3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&2\end{pmatrix}\): \(p_{A'} = (2-\lambda)^2(1-\lambda)\), mas \(A'-2I = \left(\begin{smallmatrix}1&-1&1\\2&-2&1\\1&-1&0 \end{smallmatrix}\right)\) tem posto \(2\), logo \(\mathrm{mg}(2) = 1<2\). Não é diagonalizável, embora \(p_{A'}\) tenha todas as raízes reais.
Se \(A = PDP^{-1}\) com \(D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), então \(A^k = PD^kP^{-1}\) para todo \(k\geq0\), e \(D^k = \mathrm{diag}(\lambda_1^k,\ldots,\lambda_n^k)\). Se todos os \(\lambda_i\neq0\), isso vale também para \(k<0\).
O desvio do Teorema 3.14, agora com propósito: para calcular \(A^k\), passe às coordenadas em que \(A\) é diagonal, eleve \(n\) números à potência \(k\), e volte.
Temos \(A^2 = PDP^{-1}PDP^{-1} = PD^2P^{-1}\), e o resto é indução. Para \(k = -1\), basta ver que \((PDP^{-1})(PD^{-1}P^{-1}) = I\).
\(A = \left(\begin{smallmatrix}5&4\\ 4&5\end{smallmatrix}\right)\): \(p_A = (5-\lambda)^2-16 = (\lambda-9)(\lambda-1)\), \(V_9 = [(1,1)]\), \(V_1 = [(1,-1)]\). Com \[P = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix}9&0\\0&1\end{pmatrix},\quad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}:\]
\(A^{100} = PD^{100}P^{-1} = \dfrac12\begin{pmatrix}9^{100}+1&9^{100}-1\\ 9^{100}-1&9^{100}+1\end{pmatrix}\).
\(A^{-1} = PD^{-1}P^{-1} = \dfrac19\begin{pmatrix}5&-4\\-4&5\end{pmatrix}\) (confira: \(AA^{-1} = I\)).
Uma raiz quadrada: \(B = P\,\mathrm{diag}(3,1)\,P^{-1} = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\), e de fato \(B^2 = A\). É a matriz do Exemplo 8.12.
Quantas raízes quadradas \(A\) tem? Se \(B^2 = A\), então \(BA = B^3 = AB\), e \(B\) preserva os autoespaços de \(A\) (Proposição 8.46); como eles têm dimensão \(1\), \(B\) é diagonal na base \(P\), com \(B = P\,\mathrm{diag}(\pm3,\pm1)\,P^{-1}\). São exatamente quatro.
Na fórmula de \(A^{100}\), o termo \(9^{100}\) domina: \(A^{100}\) é praticamente \(\frac{9^{100}}{2}\left(\begin{smallmatrix}1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\), uma matriz de posto \(1\) que projeta sobre \(V_9\). É o fenômeno do autovalor dominante, que reaparece no Exemplo 8.34.
\(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\), \(F_{n+1} = F_n+F_{n-1}\). Em forma matricial, \[\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}F_n\\F_{n-1}\end{pmatrix},\qquad A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad\text{logo}\qquad \begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.\] \(p_A = \lambda^2-\lambda-1\), com raízes \(\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}\) e \(\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}\). Como \(\lambda^2 = \lambda+1\) para essas raízes, os autovetores são \((\varphi,1)\) e \((\psi,1)\) (confira: \(A(\lambda,1) = (\lambda+1,\lambda) = \lambda(\lambda,1)\)). Escrevendo o vetor inicial nessa base, \[\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt5}\left[\begin{pmatrix}\varphi\\1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}\psi\\1\end{pmatrix}\right],\] porque \(\varphi-\psi = \sqrt5\). Aplicando \(A^n\), cada autovetor se multiplica pela potência do seu autovalor, e a segunda coordenada dá \[F_n = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}.\] Como \(|\psi|<1\), \(\psi^n\to0\), e \(F_{n+1}/F_n\to\varphi\): a razão áurea é o autovalor dominante.
Os pares \((F_{n+1},F_n)\) são as potências \(A^n(1,0)\). A componente na direção de \((\psi,1)\) encolhe (fator \(|\psi|\approx0{,}62\)) e a na direção de \((\varphi,1)\) cresce (fator \(\varphi\approx1{,}62\)): os pontos se alinham rapidamente com a reta \(V_\varphi\), cuja inclinação é \(1/\varphi\).
Por exemplo, \(F_{10} = 55\) pela fórmula, com \(\varphi^{10}\approx122{,}99\): a expressão com \(\sqrt5\) dá sempre inteiros. Toda recorrência linear de coeficientes constantes se resolve assim.
Verdadeiro ou falso? Se \(\lambda\) é autovalor de \(T\) com multiplicidade algébrica \(1\), então \(\dim V_\lambda = 1\).
Verdadeira. Pela Proposição 8.27, \(1\leq\dim V_\lambda\leq1\).
Verdadeiro ou falso? Se \(\dim V_\lambda = 1\), então \(\lambda\) tem multiplicidade algébrica \(1\).
Falsa. A matriz do Exemplo 8.29, \(J = \left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) tem \(\dim V_1 = 1\) e \(p_J = (1-\lambda)^2\).